1 – Définition
Définition 1 : Soit \(a\) un nombre réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base \(a\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = a^x\) (la variable est en exposant).
Remarques :
- La fonction exponentielle de base \(a\) prolonge la suite géométrique \(u_n = a^n\) en étendant son ensemble de définition à l'ensemble des nombres réels.
- L'image d'un nombre se calcule avec la calculatrice en utilisant la touche \(\wedge\).
- Quelle que soit la base \(a\), on a toujours \(f(0) = a^0 = 1\) et \(f(1) = a^1 = a\).
Exemple 1 :
On a tracé ci-dessous la fonction \(f(x) = 2^x\).
- \(f(4) = 2^4 \approx 16\)
- \(f(3{,}5) = 2^{3{,}5} \approx 11{,}313\)
- \(f(-1{,}5) = 2^{-1{,}5} = \dfrac{1}{2^{1{,}5}} \approx 0{,}354\)
- \(f(0) = 2^0 = 1\)
- \(f(1) = 2^1 = 2\)
Propriété 1 : La fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = k \times a^x\) prolonge la suite géométrique \((u_n)\) de 1er terme \(u_0 = k\) et de raison \(q = a\).
Exemple 2 :
Sabrina place \(500\) € au taux annuel de \(4{,}5\%\).
1) On note \(u_n\) le capital au bout de \(n\) années de placement.
a. Quelle est la nature de la suite ?
La suite \((u_n)\) est géométrique de 1er terme \(u_0 = 500\) et de raison \(q = 1{,}045\).
b. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) ?
Pour tout rang \(n\), on a \(u_n = u_0 \times q^n\) d'où \(u_n = 500 \times 1{,}045^n\).
c. Quel est le capital : au bout de 3 ans ? Au bout de \(17\) ans ?
On calcule \(u_3 = 500 \times 1{,}045^3 \approx 570{,}58\) € et \(u_{17} = 500 \times 1{,}045^{17} \approx 1056{,}68\) €.
2) On considère la fonction \(f(x) = 500 \times 1{,}045^x\). Cette fonction prolonge la suite \((u_n)\) précédente.
On peut l'utiliser pour calculer le capital au bout d'un temps précis entre deux années entières.
a. Quel est le capital au bout de 1 année et demie ? \(f(1{,}5) = 500 \times 1{,}045^{1{,}5} \approx 534{,}12\) €.
b. Quel est le capital au bout de 7 trimestres ? \(f\!\left(\dfrac{7}{3}\right) = 500 \times 1{,}045^{7/3} \approx 554{,}08\) €.
c. Quel est le capital au bout de \(1000\) jours ? \(f\!\left(\dfrac{1000}{365}\right) = 500 \times 1{,}045^{1000/365} \approx 506{,}07\) €.
2 – Sens de variation et représentation graphique
Propriété 2 : Soit \(a > 0\). La fonction exponentielle de base \(f(x) = a^x\) est :
- Strictement croissante si \(a > 1\).
- Strictement décroissante si \(0 < a < 1\).
Exemple 3 :
La fonction \(f(x) = 1{,}5^x\) est croissante.
La fonction \(g(x) = 0{,}8^x\) est décroissante.
Remarques :
- La fonction \(f(x) = a^x\) a le même sens de variation que la suite géométrique qu'elle prolonge.
- Si \(k > 0\), la fonction \(f(x) = k \times a^x\) a le même sens de variation que la fonction exponentielle \(f(x) = a^x\).
Exemple 4 :
La fonction \(f(x) = 500 \times 1{,}045^x\) de l'exemple 2 est croissante.
3 – Règles de calcul
Les règles de calcul avec les puissances entières s'étendent au cas où l'exposant est un nombre réel.
Propriété 3 : Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs, \(x, y\) deux nombres réels et \(n\) un entier. On a :
- \(a^{x+y} = a^x \times a^y\)
- \(a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}\)
- \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}\)
- \((a^x)^n = a^{nx}\)
- \((a \times b)^x = a^x \times b^x\)
Remarque : Pour tout réel \(a > 0\), \(a^{-1}\) est l'inverse de \(a\) : \(a^{-1} = \dfrac{1}{a^1} = \dfrac{1}{a}\).
Exemple 5 :
Simplifier les expressions suivantes :
\(\dfrac{8{,}75^7 \times 8{,}75^{-1{,}5}}{8{,}75^{0{,}5}} = \dfrac{8{,}75^{7+(-1{,}5)}}{8{,}75^{0{,}5}}\)\(= \dfrac{8{,}75^{5{,}5}}{8{,}75^{0{,}5}} = 8{,}75^{5{,}5 - 0{,}5} = 8{,}75^5\) \(\dfrac{(1{,}8^{-1{,}1})^4}{1{,}8^{-4{,}2}} = \dfrac{1{,}8^{4 \times (-1{,}1)}}{1{,}8^{-4{,}2}} = \dfrac{1{,}8^{-4{,}4}}{1{,}8^{-4{,}2}}\)
\(= 1{,}8^{-4{,}4 - (-4{,}2)} = 1{,}8^{-4{,}4 + 4{,}2} = 1{,}8^{-0{,}2} = \dfrac{1}{1{,}8^{0{,}2}}\) \[2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000\]
Propriété 4 : Soit \(a > 0\) et \(n\) un entier positif. Le nombre \(x = a^{\frac{1}{n}}\) est l'unique nombre positif tel que \(x^n = a\).
Remarques :
- Le nombre \(a^{\frac{1}{n}}\) est appelé la racine \(n\)-ième de \(a\) et il est noté \(\sqrt[n]{a}\).
- On a : \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a^{n \times \frac{1}{n}} = a^1 = a\).
- La racine 2-ième correspond à « racine carrée » : \(a^{\frac{1}{2}} = a^{0{,}5} = \sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\).
Exemple 6 :
Calculer les nombres suivants :
- \(100^{\frac{1}{2}} = 10^{0{,}5} = \sqrt{100} = 10\)
- \(64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4\) (car \(4^3 = 64\))
- \(81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3\) (car \(3^4 = 81\))
