Introduction :
- On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et on note \(C_f\) sa courbe.
Cette fonction peut modéliser l'évolution d'un phénomène. - Soit \(a\) un nombre de \(I\). On note \(A(a\;;\;f(a))\) le point de la courbe correspondant.
On s'intéresse ici à mesurer la variation instantanée du phénomène en \(x = a\).
1 – Tangente à une courbe
Définition 1 :
- On appelle sécante à une courbe toute droite passant par deux points distincts \(A\) et \(M\) de la courbe.
- On appelle tangente à \(C_f\) en \(A\) et on note \(T_A\) la droite qui passe par \(A\) et qui est la position limite des sécantes \((AM)\) lorsque le point \(M\) devient aussi proche que l'on veut du point \(A\).
Fig 1 : Une sécante \((AM)\)
Fig 2 : \(M\) se rapproche de \(A\)
Fig 3 : La tangente \(T_A\)
Remarque : Le mot tangente provient du grec et signifie « toucher ». La tangente \(T_A\) est la droite qui « frôle » la courbe au niveau du point \(A\) et la touche en ce point.
Exemple 1 :
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par la courbe tracée ci-dessous.
1) Tracer en bleu une sécante à la courbe de \(f\).
2) Tracer en rouge « au jugé » la tangente \(T_A\) à la courbe de \(f\) au niveau du point \(A\).
2 – Nombre dérivé
Définition 2 : On appelle nombre dérivé de la fonction \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\), le coefficient directeur de la tangente \(T_A\) à la courbe de \(f\) au point \(A\).
Exemple 2 :
Soit \(f(x) = x^2\) dont on a tracé ci-contre sa courbe et soit \(A\) le point de sa courbe d'abscisse \(a = 1\).
1) On a tracé la tangente \(T_A\) à la courbe de \(f\) au niveau du point \(A\).
Déterminer \(f'(1)\).
\(f'(1)\) est le coefficient directeur de la tangente \(T_A\) d'où \(f'(1) = 2\).
2) On sait que \(f'(-2) = -4\). Tracer la tangente \(T_B\) au niveau du point \(B\).
On trace la droite qui passe par le point \(B\) et qui a pour pente \(-4\).
Déterminer \(f'(1)\).
\(f'(1)\) est le coefficient directeur de la tangente \(T_A\) d'où \(f'(1) = 2\).
2) On sait que \(f'(-2) = -4\). Tracer la tangente \(T_B\) au niveau du point \(B\).
On trace la droite qui passe par le point \(B\) et qui a pour pente \(-4\).
Remarques :
- Le nombre \(f'(a)\) correspond en quelque sorte à la « pente » de la courbe de \(f\) au niveau du point \(A\).
- Si \(f\) modélise une évolution alors \(f'(a)\) représente la vitesse instantanée de cette évolution en \(x = a\).
- Pour de « grandes valeurs » de \(a\), la variation absolue avec incrémentation d'une unité \(f(a + 1) - f(a)\) peut être approximée par le nombre dérivé \(f'(a)\).
Exemples d'application :
- Physique : On note \(f(t)\) la distance en mètres parcourue par un mobile en \(t\) secondes. Le nombre dérivé \(f'(t)\) correspond à la vitesse instantanée du mobile (en \(m/s\)) à l'instant \(t\).
- Biologie : Lors d'une épidémie, on note \(f(x)\) le nombre de cas positifs au bout de \(x\) jours. La vitesse de propagation de l'épidémie (en nombre de cas par jour) est donnée par la variation absolue du nombre de cas entre deux jours consécutifs \(f(x + 1) - f(x)\). Celle-ci peut être assimilée au nombre dérivé \(f'(x)\).
- Économie : Dans une production, on note \(C(x)\) le coût de production de \(x\) unités. Le coût marginal est le coût induit par la production d'une unité supplémentaire : il est donné par la formule \(C(x + 1) - C(x)\).
En pratique, on utilise le nombre dérivé \(C'(x)\) pour approximer ce coût marginal.
3 – Équation de la tangente
Propriété 1 : L'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction \(f\) en \(A\) est de la forme :
\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]
Exemple 3 :
Déterminer l'équation de la tangente \(T_A\) de l'exemple précédent.
\(T_A\) a pour équation \(y = f'(1)(x - 1) + f(1)\).
Or d'après l'exemple 2, on a \(f'(1) = 2\) et on a aussi \(f(1) = 1^2 = 1\).
L'équation de \(T_A\) devient \(y = 2(x - 1) + 1\) c'est-à-dire \(y = 2x - 2 + 1\).
D'où finalement \(y = 2x - 1\).
