1 – Fonction dérivée
Définition 1 : Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). La fonction dérivée de \(f\) est la fonction \(f'\), qui à chaque nombre \(x\) de \(I\), associe le nombre dérivé \(f'(x)\).
Remarque : La fonction dérivée \(f'\) permet de calculer la variation instantanée de la fonction \(f\) en n'importe quel point de la courbe de \(f\).
2 – Dérivées des fonctions usuelles
Voici les fonctions dérivées des fonctions usuelles (\(c\) désigne une constante réelle et \(n\) un entier positif) :
| Fonction \(f\) | Fonction dérivée \(f'\) | Intervalle de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(f(x) = c\) | \(f'(x) = 0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x\) | \(f'(x) = 1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^2\) | \(f'(x) = 2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^3\) | \(f'(x) = 3x^2\) | \(\mathbb{R}\) |
Exemple 1 :
Calculer la variation instantanée de la fonction carré en \(x = 1\).
On utilise sa fonction dérivée \(f'(x) = 2x\). On a donc \(f'(1) = 2 \times 1 = 2\).
3 – Opérations sur les dérivées
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et \(k\) un nombre réel.
| Opération | Fonction \(f\) | Fonction \(f'\) |
|---|---|---|
| Somme | \(f = u + v\) | \(f' = u' + v'\) |
| Produit par un réel | \(f = k \times u\) | \(f' = k \times u'\) |
Remarque : Si \(f = u - v\) alors on a \(f' = u' - v'\) car \(f\) peut alors s'écrire \(f = u + (-1) \times v\).
Exemple 2 :
Dériver les fonctions suivantes :
- Fonction : \(f(x) = 2x + 3\) — Dérivée : \(f'(x) = 2\)
- Fonction : \(f(x) = 5x^2\) — Dérivée : \(f'(x) = 5 \times 2x = 10x\)
- Fonction : \(f(x) = 2x^2 - 3x + 5\) — Dérivée : \(f'(x) = 2 \times 2x - 3 \times 1 + 0 = 4x - 3\)
- Fonction : \(f(x) = -3x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 + 10\) — Dérivée : \(f'(x) = -3 \times 3x^2 + \dfrac{1}{2} \times 2x + 0 = -9x^2 + x\)
Remarque : Avec les formules précédentes on peut calculer la fonction dérivée de n'importe quel polynôme : sa dérivée est un polynôme de degré inférieur.
4 – Dérivée et sens de variation
Propriété 1 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
- La fonction \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est positive sur \(I\).
- La fonction \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est négative sur \(I\).
Remarque : Pour étudier les variations d'une fonction \(f\), on peut donc étudier le signe de sa dérivée \(f'\).
Exemple 3 :
Déterminer le sens de variation de la fonction \(f(x) = -3x + 5\).
On commence par dériver la fonction \(f\) : \(f'(x) = -3\).
\(f'\) est une fonction constante, négative sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(f\) est donc décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Exemple 4 :
Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = 2x^2 - 12x + 5\).
1) Dériver la fonction \(f\). Quelle est la forme de la fonction \(f'\) ?
\(f'(x) = 2 \times 2x - 12 \times 1 + 0 = 4x - 12\). \(f'\) est une fonction affine (droite).
2) Déterminer le tableau de signe de \(f'\) puis en déduire les variations de \(f\). \(f'(x) = 0\)
\(\Longleftrightarrow 4x - 12 = 0\)
\(\Longleftrightarrow 4x = 12 \Longleftrightarrow x = \dfrac{12}{4} = 3\)
\[f(3) = 2 \times 3^2 - 12 \times 3 + 5 = -13\]
Exemple 5 :
Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = x^3 - 1{,}5x^2 - 6x + 2\).
1) Dériver la fonction \(f\).
\[f'(x) = 3x^2 - 1{,}5 \times 2x - 6 \times 1 + 0 = 3x^2 - 3x - 6\]
2) Montrer que \(f'\) peut s'écrire sous la forme : \(f'(x) = 3(x + 1)(x - 2)\).
\(3(x + 1)(x - 2) = 3(x^2 - 2x + x - 2)\)\(= 3(x^2 - x - 2) = 3x^2 - 3x - 6\) 3) Déterminer le tableau de signe de \(f'\) puis en déduire les variations de \(f\).
\[f(-1) = (-1)^3 - 1{,}5 \times (-1)^2 - 6 \times (-1) + 2 = 5{,}5\]
\[f(2) = (2)^3 - 1{,}5 \times (2)^2 - 6 \times 2 + 2 = -8\]
