1 – Rappels sur les probabilités
Propriété 1 : On considère une expérience aléatoire d'univers \(\Omega\) ainsi que deux évènements \(A\) et \(B\).
- La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des issues qui le composent.
- Si on est dans une situation d'équiprobabilité, alors \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre d'issues total}}\).
- On a \(P\left(\overline{A}\right) = 1 - P(A)\).
- On a \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
Exemple 1 :
Les salariés d'une agence d'intérim ont été classés selon leurs atouts sur le marché de l'emploi. Le tableau ci-dessous donne la répartition des salariés selon les deux critères suivants : la maîtrise de l'anglais et la possession du permis \(B\).
| Permis B | Non Permis B | Total | |
| Anglais | \(27\) | \(9\) | \(36\) |
| Non Anglais | \(18\) | \(6\) | \(24\) |
| Total | \(45\) | \(15\) | \(60\) |
\(A\) : « Le salarié maîtrise l'anglais » et \(B\) : « Le salarié possède le permis \(B\) »
1) a. Quelle est la probabilité que le salarié maîtrise l'anglais ? \[P(A) = \dfrac{36}{60} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \text{ soit } 60\%\] b. Quelle est la probabilité que le salarié possède le permis B ? \[P(B) = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \text{ soit } 75\%\] 2) a. Quelle est la probabilité que le salarié ne maîtrise pas l'anglais ? \[P\left(\overline{A}\right) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 \text{ soit } 40\%\] b. Quelle est la probabilité que le salarié maîtrise l'anglais et possède le permis B ? \[P(A \cap B) = \dfrac{27}{60} = \dfrac{9}{20} = 0{,}45 \text{ soit } 45\%\] c. Quelle est la probabilité que le salarié maîtrise l'anglais ou possède le permis B ? \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
\(= 0{,}6 + 0{,}75 - 0{,}45 = 0{,}90\) soit \(90\%\)
2 – Probabilité conditionnelle
Définition 1 : On appelle probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\), et on note \(P_A(B)\), la probabilité que l'événement \(B\) se réalise sachant que l'événement \(A\) est réalisé.
Exemple 2 :
Calculer et interpréter les probabilités conditionnelles suivantes :
\(P_A(B)\) désigne la probabilité de choisir un salarié qui a le permis B parmi ceux qui maîtrisent l'anglais. \[P_A(B) = \dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \text{ soit } 75\%\] \(P_B(A)\) désigne la probabilité de choisir un salarié qui maîtrise l'anglais parmi ceux qui ont le permis B. \[P_B(A) = \dfrac{27}{45} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \text{ soit } 60\%\]
Remarque : Attention, en règle générale, \(P_A(B) \neq P_B(A)\).
3 – Formule pour calculer \(P_A(B)\)
Propriété 2 : Soient \(A\) et \(B\) deux événements tel que \(P(A) \neq 0\). La probabilité de l'événement \(B\) sachant que \(A\) est réalisé, notée \(P_A(B)\), est donnée par :
\[P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{P(\text{Intersection})}{P(\text{Condition})}\]
Exemple 3 :
La répartition des groupes sanguins dans la population française est donnée dans le tableau ci-dessous. On choisit une personne au hasard dans la population française.
On considère les deux évènements suivants :
\(A\) : « La personne est du groupe \(A\) »
\(B\) : « La personne est de rhésus positif »
\(A\) : « La personne est du groupe \(A\) »
\(B\) : « La personne est de rhésus positif »
\(P(B) = 0{,}37 + 0{,}39 + 0{,}07 + 0{,}02 = 0{,}85\)
\(P(A \cap B) = 0{,}39\) : c'est la probabilité de choisir un individu du groupe \(A+\). \[P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}39}{0{,}45} = \dfrac{39}{45} \approx 0{,}87\] Il y a \(87\%\) de chance de choisir une personne de rhésus positif sachant qu'elle est du groupe \(A\). \[P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}39}{0{,}85} = \dfrac{39}{85} \approx 0{,}46\] Il y a \(46\%\) de chance de choisir une personne du groupe \(A\) sachant qu'elle est de rhésus positif.
4 – Indépendance de deux évènements
Définition 2 : On dit que deux évènements sont indépendants si la réalisation de l'un n'a aucune influence sur la probabilité que l'autre se réalise.
Exemple 4 :
Les évènements « Il pleut » et « La machine à café tombe en panne » sont (a priori) indépendants.
Propriété 3 : Deux évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants si l'une des conditions suivantes est vérifiée :
(1) \(P_A(B) = P(B)\)
(2) \(P_B(A) = P(A)\)
(3) \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
(1) \(P_A(B) = P(B)\)
(2) \(P_B(A) = P(A)\)
(3) \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Exemple 5 :
Reprendre les exemples 1 et 3 et déterminer si les évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Ex 1 : Oui, les conditions (1) et (2) sont satisfaites. On a \(P_A(B) = P(B) = 0{,}75\) et \(P_B(A) = P(A) = 0{,}6\).
Pour un salarié, la maîtrise de l'anglais n'a donc pas d'incidence sur la possession du permis et vice-versa.
Ex 3 : Non, la condition (3) n'est pas vérifiée. \(P(A) \times P(B) = 0{,}45 \times 0{,}85 \approx 0{,}38\) et \(P(A \cap B) = 0{,}39\).
Être du groupe \(A\) a une (légère) incidence sur le fait d'être de rhésus positif.
