1 – Règles de calculs dans un arbre pondéré
On peut représenter une situation aléatoire avec des probabilités conditionnelles à l'aide d'un arbre pondéré.
Propriété 1 : Dans un arbre pondéré, on peut utiliser les 3 règles suivantes :
- Règle 1 : À partir d'un même noeud, la somme des probabilités sur les branches doit être égale à 1 : \(P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1\).
- Règle 2 : Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches de ce chemin : \(P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A)\).
- Règle 3 : La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent : \(P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \overline{A})\).
Exemple 1 :
L'Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies (OFDT) a réalisé une enquête auprès des jeunes de \(18\) à \(25\) ans sur leur consommation de tabac et d'alcool. Parmi les personnes interrogées :
- \(78\%\) d'entre eux déclarent consommer de l'alcool (au moins une fois lors du dernier mois).
- Parmi ceux qui consomment de l'alcool, \(43\%\) d'entre eux déclarent consommer également du tabac.
- Parmi ceux qui ne consomment pas d'alcool, \(15\%\) d'entre eux déclarent consommer du tabac.
\(A\) : « La personne interrogée consomme de l'alcool »
\(B\) : « La personne interrogée consomme du tabac »
1) Traduire les informations de l'énoncé à l'aide des probabilités conditionnelles.
\(P(A) = 0{,}78\) ; \(P_A(B) = 0{,}43\) et \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}15\)
2) Compléter l'arbre pondéré ci-contre.
D'après l'arbre on a \(P(A \cap B) \approx 0{,}34\), donc la probabilité est d'environ \(34\%\).
b. Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne consomme ni tabac ni alcool ?
D'après l'arbre on a \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) \approx 0{,}19\), donc la probabilité est d'environ \(19\%\).
4) Quelle est la probabilité que la personne interrogée consomme du tabac ? \(P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\)
\(\approx 0{,}34 + 0{,}03 \approx 0{,}37\) Donc la probabilité est d'environ \(37\%\).
5) On interroge un fumeur, quelle est la probabilité qu'il boive de l'alcool ?
On cherche la probabilité d'interroger une personne qui consomme de l'alcool sachant qu'elle consomme du tabac, c'est-à-dire : \[P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}34}{0{,}37} \approx 0{,}92\] Donc la probabilité est d'environ \(92\%\).
2 – Succession d'épreuves indépendantes
- On peut utiliser également un arbre pondéré pour représenter une expérience aléatoire composée d'une succession d'épreuves indépendantes (dont les résultats de l'une n'ont pas d'influence sur ceux des autres).
- Chaque « niveau » de l'arbre correspond alors à l'une des épreuves.
- Les règles de calculs énoncées précédemment s'appliquent également dans ce contexte.
Exemple 2 :
On lance 2 fois de suite un dé bien équilibré. Soit \(S\) : « Obtenir 6 ».
Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré puis calculer :
\(P(\text{Obtenir aucun six}) = P(\overline{S}\,\overline{S}) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}\) \(P(\text{Obtenir un seul six})\)
\(= P(S\overline{S}) + P(\overline{S}S)\)
\(= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} = 2 \times \dfrac{5}{36} = \dfrac{10}{36}\)
