1 – Généralités
Définition 1 : Une suite est une liste indexée de nombres.
Remarques :
- Les suites sont généralement notées avec les lettres minuscules \(u, v, w\).
- Les éléments de cette suite sont appelés les termes.
- Le numéro de chaque terme est appelé son rang ou son indice.
- Pour une suite \(u\), le terme de rang \(n\) est noté \(u(n)\) ou bien \(u_n\) qui se lit « \(u\) indice \(n\) ».
- Une suite est généralement numérotée à partir de \(0\) : Le 1er terme d'une suite \(u\) est donc souvent \(u(0)\).
- Une suite \(u\) peut être vue comme une fonction définie seulement sur les nombres entiers positifs :
Les rangs sont les « antécédents » et les termes sont les « images ». \(u(n)\) est l'image de \(n\) par \(u\).
Exemple 1 :
La suite de Fibonacci \(u = (1\;;\;1\;;\;2\;;\;3\;;\;5\;;\;8\;;\;13\;;\;21\;;\;34\;;\;55\;;\;89\;;\;\text{etc})\)
1) Compléter les deux termes manquants de la suite et expliquer comment on obtient les termes suivants.
On obtient un terme en additionnant les deux termes précédents.
2) Déterminer : Le 1er terme ; le terme de rang \(4\) ; \(u(7)\) ; \(u_{10}\) ; Le rang du terme \(233\).
Le 1er terme est \(u(0) = 1\) ; \(u(4) = 5\) ; \(u(7) = 21\) ; \(u_{10} = 89\) ; \(233\) est de rang \(12\).
Remarque : Par rapport au terme \(u(n)\), le terme suivant est \(u(n+1)\) et le terme précédent est \(u(n-1)\).
2 – Mode de génération
Il existe deux modes de génération pour une suite.
Définition 2 : Une suite \(u\) est définie de façon explicite lorsque le terme \(u(n)\) se calcule directement à l'aide d'une formule en fonction de \(n\).
Remarque : Dans ce cas, pour calculer un terme, il suffit de remplacer la variable \(n\) par le rang souhaité.
Exemple 2 :
Soit la suite \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u(n) = n^2\).
\(u(0) = 0^2 = 0\) ; \(u(1) = 1^2 = 1\) ; \(u(2) = 2^2 = 4\) ; \(u(3) = 3^2 = 9\) ; \(u(4) = 4^2 = 16\) ; \(u(99) = 99^2 = 9801\)
Définition 3 : Une suite \(u\) est définie par récurrence lorsque l'on dispose du ou de(s) premier(s) terme(s), ainsi qu'une relation permettant de calculer un terme à partir du (ou des) précédent(s).
Remarque : Dans ce cas, pour calculer un terme on doit d'abord calculer tous les termes précédents.
Exemple 3 :
Soit la suite \(v\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\begin{cases} v_0 = 1 \\ v_{n+1} = 2v_n + 1 \end{cases}\)
\(v_1 = 2 \times v_0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3\)
\(v_2 = 2 \times v_1 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7\)
\(v_3 = 2 \times v_2 + 1 = 2 \times 7 + 1 = 15\)
\(v_{99} = 2 \times v_{98} + 1 = \ldots\)
3 – Représentation graphique
Définition 4 : Pour représenter graphiquement une suite \(u\) dans un repère, on place :
● Les « indices » \(n\) sur l'axe des abscisses.
● Les « termes » \(u(n)\) sur l'axe des ordonnées.
● Les points de coordonnées \((n\;;\;u_n)\) dans le repère.
● Les « indices » \(n\) sur l'axe des abscisses.
● Les « termes » \(u(n)\) sur l'axe des ordonnées.
● Les points de coordonnées \((n\;;\;u_n)\) dans le repère.
Remarque : La représentation graphique d'une fonction est une courbe alors que la représentation graphique d'une suite est un nuage de points (non reliés).
Exemple 4 :
Représentation graphique de la suite \(u\) définie par \(u(n) = n^2 + 2n - 5\)
Fonction \(f(x) = x^2 + 2x - 5\)
Suite \(u_n = n^2 + 2n - 5\)
4 – Calcul des termes à l'aide d'un algorithme
Il est possible de générer les termes d'une suite à l'aide d'un algorithme qu'il sera alors possible d'exécuter, soit en langage Python, soit à l'aide d'un tableur ou bien d'une calculatrice.
Exemple 5 :
Ecrire un algorithme qui calcule et affiche les \(100\) premiers termes de la suite \(u\) (Ex 2)
Algorithme :
Variables : \(u\)
Pour \(n\) allant de \(0\) à \(99\)
\(u \longleftarrow n^2\)
Afficher \(u\)
Fin Pour
Exécution :
● 1er tour de boucle :
\(n \leftarrow 0\)
\(u \leftarrow 0^2 = 0\)
« \(0\) » (On affiche \(u_0\))
● 2ème tour de boucle :
\(n \leftarrow 1\)
\(u \leftarrow 1^2 = 1\)
« \(1\) » (On affiche \(u_1\)) etc.
Programme Python :
Puis, Recopiage automatique
Exemple 6 :
Ecrire un algorithme qui calcule et affiche les \(100\) premiers termes de la suite \(v\) (Ex 3)
Algorithme :
Variables : \(v\)
\(v \leftarrow 1\)
Afficher \(v\)
Pour \(n\) allant de \(1\) à \(99\)
\(v \longleftarrow 2v + 1\)
Afficher \(v\)
Fin Pour
Exécution :
\(v \leftarrow 1\)
« \(1\) » (On affiche \(v_0\))
● 1er tour de boucle :
\(n \leftarrow 0\)
\(v \leftarrow 2 \times 1 + 1 = 3\)
« \(3\) » (On affiche \(v_1\))
● 2ème tour de boucle :
\(n \leftarrow 1\)
\(v \leftarrow 2 \times 3 + 1 = 7\)
« \(7\) » (On affiche \(v_2\)) etc.
Programme Python :
Puis, Recopiage automatique
