1 – Suite croissante, suite décroissante
Définition 1 : Le sens de variation d'une suite \(u\) est défini de la façon suivante :
● \(u\) est croissante si chaque terme est plus grand que le précédent : Pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} \geq u_n\).
● \(u\) est décroissante si chaque terme est plus petit que le précédent : Pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} \leq u_n\).
● \(u\) est croissante si chaque terme est plus grand que le précédent : Pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} \geq u_n\).
● \(u\) est décroissante si chaque terme est plus petit que le précédent : Pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} \leq u_n\).
Exemple 1 :
Soit la suite \(u\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = n^2\)
On a : \(u = (0\;;\;1\;;\;4\;;\;9\;;\;16\;;\;25\;;\;\ldots)\)
Les termes sont dans l'ordre croissant : Chaque terme est plus grand que le précédent et pour tout rang \(n\) on a : \(u_{n+1} \geq u_n\).
La représentation graphique de \(u\) monte.
La suite \(u\) est croissante.
Exemple 2 :
Soit la suite \(v\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(v_n = \dfrac{1}{n+1}\)
On a : \(v = \left(1\;;\;\dfrac{1}{2}\;;\;\dfrac{1}{3}\;;\;\dfrac{1}{4}\;;\;\dfrac{1}{5}\;;\;\ldots\right)\)
Les termes sont dans l'ordre décroissant : Chaque terme est plus petit que le précédent et pour tout rang \(n\) on a : \(v_{n+1} \leq v_n\).
La représentation graphique de \(v\) descend.
La suite \(v\) est décroissante.
Remarque : On dit que la suite est constante si chaque terme est égal au précédent. Pour tout rang \(n\), on a alors \(u_{n+1} = u_n\) et sa représentation graphique est stationnaire.
2 – Méthode pour trouver le sens de variation
Propriété 1 : Pour étudier le sens de variation d'une suite, on étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\)
● Si pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) alors la suite est croissante.
● Si pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) alors la suite est décroissante.
● Si pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) alors la suite est croissante.
● Si pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) alors la suite est décroissante.
Exemple 3 :
Soit la suite \(u\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = 2n^2 - 5\)
● Etape 1 : On calcule \(u(n+1) - u(n)\) \[\begin{aligned} u(n+1) - u(n) &= 2(n+1)^2 - 5 - (2n^2 - 5) \\ &= 2(n^2 + 2n + 1) - 5 - 2n^2 + 5 \\ &= 2n^2 + 4n + 2 - 2n^2 \\ &= 4n + 2 \end{aligned}\] ● Etape 2 : On regarde le signe de \(u(n+1) - u(n)\)
Si \(n \geq 0\) alors \(4n \geq 0\) et donc \(4n + 2 \geq 0\).
Ainsi pour tout rang \(n\), on a \(u(n+1) - u(n) > 0\) donc la suite \(u\) est croissante.
