1 – Définition
Définition 1 : On dit qu'une suite \(u\) est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre \(r\) appelé la raison de la suite.
Exemple 1 :
● La suite \(u = (3\;;\;6\;;\;9\;;\;12\;;\;15\;;\;\ldots)\) est arithmétique. Sa raison est \(r = 3\).
● La suite \(v = (5\;;\;3\;;\;1\;;\;-1\;;\;-3\;;\;\ldots)\) est arithmétique. Sa raison est \(r = -2\).
● La suite \(w = (5\;;\;10\;;\;15\;;\;20\;;\;24\;;\;\ldots)\) n'est pas arithmétique car on n'ajoute pas toujours le même nombre.
2 – Relation de récurrence
Propriété 1 : Si \(u\) est une suite arithmétique de raison \(r\) alors pour tout rang \(n\), on a \(u(n+1) = u(n) + r\)
Exemple 2 :
● Soit \(u\) la suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(r = 2\).
\(u = (1\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;9\;;\;11\;;\;\ldots)\) et on a, pour tout rang \(n\), la relation de récurrence \(u(n+1) = u(n) + 2\).
● Soit \(v\) la suite arithmétique de premier terme \(v_0 = 10\) et de raison \(r = -3\).
\(v = (10\;;\;7\;;\;4\;;\;1\;;\;-2\;;\;-5\;;\;\ldots)\) et on a, pour tout rang \(n\), la relation de récurrence \(v(n+1) = v(n) - 3\).
Remarque : Une suite \(u\) est arithmétique si, pour tout rang \(n\), la différence entre deux termes consécutifs \(u(n+1) - u(n)\) est un nombre constant, qui correspond alors à la raison de la suite.
Exemple 3 :
Montrer que la suite \(u\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u(n) = 4n + 5\) est arithmétique.
\[\begin{aligned} u(n+1) - u(n) &= 4(n+1) + 5 - (4n + 5) \\ &= 4n + 4 + 5 - 4n - 5 \\ &= 4 \end{aligned}\]
Pour tout rang \(n\), on a \(u(n+1) - u(n) = 4\) c'est-à-dire \(u(n+1) = u(n) + 4\).
En conclusion la suite \(u\) est arithmétique de raison \(r = 4\).
Exemple 4 :
La suite \(v\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(v(n) = n^2 + 1\).
On a \(v(0) = 0^2 + 1 = 1\), \(v(1) = 1^2 + 1 = 2\) et \(v(2) = 2^2 + 1 = 5\).
On a donc \(v(1) - v(0) = 2 - 1 = 1\) et \(v(2) - v(1) = 5 - 2 = 3\).
La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante. La suite n'est donc pas arithmétique.
3 – Représentation graphique et sens de variation
Propriété 2 : Une suite est arithmétique si et seulement si sa représentation graphique est un nuage de points alignés.
Remarque : La différence d'ordonnée entre deux points successifs est donc constante et correspond alors à la raison de la suite. On parle d'évolution linéaire.
Propriété 3 : On considère une suite arithmétique \(u\) de raison \(r\).
● Si \(r > 0\) alors la suite \(u\) est croissante.
● Si \(r < 0\) alors la suite \(u\) est décroissante.
● Si \(r > 0\) alors la suite \(u\) est croissante.
● Si \(r < 0\) alors la suite \(u\) est décroissante.
Remarque : Si \(r = 0\) alors tous les termes de la suite sont égaux et on dit que la suite est constante.
Exemple 5 :
Représenter graphiquement les suites ci-dessous et observer leur sens de variation.
● Suite arithmétique \(u\) avec :
\(u_0 = 1\) ; \(r = 2\)
La raison est positive
\(u\) est croissante
\(u_0 = 1\) ; \(r = 2\)
\(u\) est croissante
● Suite arithmétique \(v\) avec :
\(v_0 = 10\) ; \(r = -3\)
La raison est négative
\(v\) est décroissante
\(v_0 = 10\) ; \(r = -3\)
\(v\) est décroissante
● Suite \(w\) définie par :
\(w(n) = n^2 + 1\)
Les points ne sont pas alignés
\(w\) n'est pas arithmétique
\(w(n) = n^2 + 1\)
\(w\) n'est pas arithmétique
