1 – Définition

Définition 1 : On dit qu'une suite \(u\) est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre \(q\) appelé la raison de la suite.

Exemple 1 :

● La suite \(u = (1\;;\;5\;;\;25\;;\;125\;;\;625\;;\;\ldots)\) est géométrique. Sa raison est \(q = 5\).
● La suite \(v = (100\;;\;50\;;\;25\;;\;12{,}5\;;\;6{,}25\;;\;\ldots)\) est géométrique. Sa raison est \(q = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\).
● La suite \(w = (2\;;\;4\;;\;8\;;\;12\;;\;24\;;\;\ldots)\) n'est pas géométrique car on ne multiplie pas toujours par le même nombre.

2 – Relation de récurrence

Propriété 1 : Si \(u\) est une suite géométrique de raison \(q\) alors pour tout rang \(n\), on a \(u(n+1) = u(n) \times q\)

Schéma de la relation de récurrence d'une suite géométrique

Exemple 2 :

● Soit \(u\) la suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(q = 3\).
\(u = (1\;;\;3\;;\;9\;;\;27\;;\;81\;;\;243\;;\;\ldots)\) et on a, pour tout rang \(n\), la relation de récurrence \(u(n+1) = u(n) \times 3\).

● Soit \(v\) la suite géométrique de premier terme \(v_0 = 10\) et de raison \(q = \dfrac{1}{2}\).
\(v = \left(1\;;\;\dfrac{1}{2}\;;\;\dfrac{1}{4}\;;\;\dfrac{1}{8}\;;\;\dfrac{1}{16}\;;\;\ldots\right)\) et on a, pour tout rang \(n\), la relation de récurrence \(v(n+1) = v(n) \times 0{,}5\).

Remarque : Une suite \(u\) est géométrique si, pour tout rang \(n\), le quotient entre deux termes consécutifs \(\dfrac{u(n+1)}{u(n)}\) est un nombre constant, qui correspond alors à la raison de la suite.

Exemple 3 :

Montrer que la suite \(u\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u(n) = 2^n\) est géométrique. \[\dfrac{u(n+1)}{u(n)} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = \dfrac{2^n \times 2}{2^n} = 2\] Pour tout rang \(n\), on a \(\dfrac{u(n+1)}{u(n)} = 2\) c'est-à-dire \(u(n+1) = u(n) \times 2\).
En conclusion la suite \(u\) est géométrique de raison \(q = 2\).

Exemple 4 :

La suite \(v\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(v(n) = n^2 + 1\) est-elle géométrique ?
On a \(v(0) = 0^2 + 1 = 1\), \(v(1) = 1^2 + 1 = 2\) et \(v(2) = 2^2 + 1 = 5\).
On a donc \(\dfrac{v(1)}{v(0)} = \dfrac{2}{1} = 2\) et \(\dfrac{v(2)}{v(1)} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\).
Le quotient entre deux termes consécutifs n'est pas constant. La suite n'est donc pas géométrique.

3 – Représentation graphique et sens de variation

Propriété 2 : Une suite géométrique est représentée par un nuage de points de forme exponentielle.

Remarque : On parle de croissance exponentielle lorsque la différence d'ordonnée entre les points devient de plus en plus importante et de décroissance exponentielle lorsque la différence d'ordonnée entre les points devient de plus en plus faible.

Propriété 3 : On considère une suite géométrique \(u\) de raison \(q > 0\) et de 1^er terme positif.
● Si \(q > 1\) alors la suite \(u\) est croissante.
● Si \(0 < q < 1\) alors la suite \(u\) est décroissante.

Remarques :

Si \(q = 1\) alors tous les termes de la suite sont égaux et on dit que la suite est constante.
Lorsque le premier terme \(u(0)\) est négatif, le sens de variation est inversé par rapport à la propriété.
Lorsque la raison est négative, la suite oscille entre terme positif et terme négatif.

Exemple 5 :

Représenter graphiquement les suites ci-dessous et observer leur sens de variation.

● Suite géométrique \(u\) avec :
\(u_0 = 1\) ; \(q = 3\)