1 – La notion de fonction
Définition 1 : Une fonction numérique \(f\) est un procédé mathématique qui permet d'associer à tout nombre \(x\) d'un ensemble \(D\) de nombres réels, un unique nombre \(y\), noté \(f(x)\).
Remarques :
- Pour dire que \(y\) est associé à \(x\) on peut noter \(x \mapsto y\) ou bien \(f(x) = y\).
- On dit alors que \(y\) est l'image de \(x\) et que \(x\) est un antécédent de \(y\).
- L'image d'un nombre est unique, mais un nombre peut avoir un, plusieurs, ou aucun antécédent(s).
- \(D\) est appelé l'ensemble de définition. Il s'agit souvent d'un intervalle ou bien de l'ensemble \(\mathbb{R}\).
Figure 1 : La fonction vue comme une « machine »
Une fonction peut être vue comme une machine à transformer les nombres : Les nombres qui entrent dans la machine sont les « antécédents » et chacun d'entre eux sont transformés par une succession d'opérations mathématiques en une « image » qui est le résultat de cette transformation.
Une fonction peut être vue comme une machine à transformer les nombres : Les nombres qui entrent dans la machine sont les « antécédents » et chacun d'entre eux sont transformés par une succession d'opérations mathématiques en une « image » qui est le résultat de cette transformation.
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f : x \rightarrow 2x^2 - 5\)
1) Ecrire le programme de calcul qui correspond à cette fonction.
2) Calculer l'image de \(1\) par \(f\).
On remplace \(x\) par \(1\) dans la formule.
\(f(1) = 2 \times 1^2 - 5 = -2\).
L'image de \(1\) par \(f\) est \(-2\).
3) Déterminer \(f(-5)\) \[f(-5) = 2 \times (-5)^2 - 5 = 2 \times 25 - 5 = 50 - 5 = 45\] 4) Calculer le(s) antécédent(s) du nombre \(3\) par \(f\).
On résout l'équation \(f(x) = 3\) \(2x^2 - 5 = 3\) donc \(2x^2 = 3 + 5\) donc \(2x^2 = 8\)
donc \(x^2 = \dfrac{8}{2}\) donc \(x^2 = 4\) Or \(x^2 = 4\) est vraie si seulement si \(x = \sqrt{4} = 2\) ou \(x = -\sqrt{4} = -2\).
Donc \(3\) admet deux antécédents par \(f\) qui sont \(-2\) et \(2\).
2 – Courbe représentative d'une fonction
Définition 2 : Dans un repère, la courbe d'une fonction \(f\) est l'ensemble des points \(M\) qui sont de coordonnées \(M(x\;;\;f(x))\) avec \(x \in D\).
Remarques :
- Dans un repère, les antécédents sont placés sur l'axe des abscisses (\(\rightarrow\)) et les images sur l'axe des ordonnées (\(\uparrow\)).
- Pour tracer une courbe, on peut commencer par réaliser un tableau de valeurs, puis on place les points de coordonnées \((\text{antécédent}\;;\;\text{image})\).
- On peut utiliser la calculatrice pour obtenir rapidement différentes valeurs.
Exemple 2 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par la courbe ci-contre.
L'image de \(2\) par \(f\) est \(-3\)
2) Déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) par \(f\)
a. Du nombre \(5\) : \(-2\) et \(4\)
b. Du nombre \(-5\) : Aucun antécédent
c. Du nombre \(-4\) : \(1\)
3) Compléter les égalités suivantes :
a. \(f(4) = \mathbf{5}\) b. \(f(-1) = \mathbf{0}\)
c. \(f(0) = \mathbf{-3}\) d. \(f(\mathbf{1}) = -4\)
Exemple 3 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 2x - 4\).
1) Réaliser un tableau de valeurs de \(f\) entre \(-2\) et \(4\) par pas de \(1\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(f(x)\) | \(4\) | \(-1\) | \(-4\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-1\) | \(4\) |
Donc le point \(A\) n'appartient pas à la courbe de \(f\).
Figure 2 : Des fonctions sous plusieurs formes
Une fonction peut se présenter sous plusieurs formes : Une formule, une courbe, un tableau, un algorithme. Parfois, on peut être amené à utiliser plusieurs modes de représentation d'une même fonction.
Une fonction peut se présenter sous plusieurs formes : Une formule, une courbe, un tableau, un algorithme. Parfois, on peut être amené à utiliser plusieurs modes de représentation d'une même fonction.
