1 – Définition
Définition 1 : Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) quatre nombres réels tel que \(a \neq 0\). On appelle polynôme du troisième degré toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) de la forme \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\).
Exemple 1 :
\(f(x) = 2x^3 - x^2 + 1\) est un polynôme de degré \(3\). On a \(a = 2\) ; \(b = -1\) ; \(c = 0\) et \(d = 1\).
2 – Fonctions particulières \(x \mapsto ax^3\) et \(x \mapsto ax^3 + d\)
Influence du coefficient \(a\) (\(a > 0\))
● Plus \(a\) est grand, plus la courbe se « resserre ».
● Plus \(a\) est petit, plus la courbe « s'écarte ».
● La courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
● Plus \(a\) est petit, plus la courbe « s'écarte ».
● La courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Passage de \(a > 0\) à \(a < 0\)
● La courbe de \(x \mapsto -ax^3\) est le symétrique de la courbe de \(x \mapsto ax^3\) par rapport à l'axe des abscisses.
Influence du coefficient \(d\)
● La courbe de \(x \mapsto ax^3 + d\) s'obtient par translation verticale de \(d\) unités de la courbe de \(x \mapsto ax^3\).
● Elle coupe l'axe des ordonnées en \(d\).
● Elle coupe l'axe des ordonnées en \(d\).
3 – Résolution de l'équation \(x^3 = k\)
Propriété 1 : Soit \(k\) un nombre réel positif. L'équation \(x^3 = k\) admet une unique solution qui est :
\[x = k^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{k}\]
Exemple 2 :
L'équation \(x^3 = 10\) admet une solution unique qui est \(x = 10^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{10} \approx 2{,}15\).
Exemple 3 :
Déterminer le(s) antécédent(s) du nombre \(3\) par la fonction \(f(x) = 2x^3 - 13\).
On résout \(2x^3 - 13 = 3\) d'où \(2x^3 = 16\) d'où \(x^3 = 8\) d'où \(x = \sqrt[3]{8} = 2\).
Le nombre \(3\) admet un unique antécédent par \(f\) qui est \(2\).
4 – Forme factorisée
Propriété 2 : Soit \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) une fonction de degré \(3\) admettant trois racines \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\) alors \(f\) se factorise sous la forme \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\).
Remarque : Cette factorisation n'est pas toujours possible car \(f\) n'admet pas toujours 3 racines.
Exemple 4 :
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = x^3 - x\).
1) Trouver les 3 racines de ce polynôme.
\(f(0) = 0^3 - 0 = 0\) ; \(f(1) = 1^3 - 1 = 0\) et \(f(-1) = (-1)^3 - (-1) = 0\).
Les trois racines sont \(-1\) ; \(0\) et \(1\).
2) En déduire la forme factorisée de \(f\).
La forme factorisée de \(f\) est donc \(f(x) = 1 \times x(x - 1)(x - (-1)) = x(x - 1)(x + 1)\).
5 – Signe des fonctions \(x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\)
● La forme factorisée permet de savoir directement en quelle(s) valeur(s) la fonction s'annule : Les racines \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\) correspondent aux abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
● Pour déterminer le signe d'une fonction de degré \(3\) sous forme factorisée on réalise un tableau de signe produit : Dans un grand tableau, on donne le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes :
. Le produit d'un nombre pair de « \(-\) » donne un « \(+\) ».
. Le produit d'un nombre impair de « \(-\) » donne un « \(-\) ».
● Pour déterminer le signe d'une fonction de degré \(3\) sous forme factorisée on réalise un tableau de signe produit : Dans un grand tableau, on donne le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes :
. Le produit d'un nombre pair de « \(-\) » donne un « \(+\) ».
. Le produit d'un nombre impair de « \(-\) » donne un « \(-\) ».
Exemple 5 :
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = -2(x - 2)(x - 5)(x + 1)\).
1) Déterminer les racines de la fonction \(f\).
La fonction admet \(3\) racines qui sont : \(-1\) ; \(2\) et \(5\).
2) Réaliser le tableau de signe de la fonction.
\(f(x) \leq 0\) lorsque la fonction \(f\) est négative (\(-\)).
Donc \(S = [-1\;;\;2] \cup [5\;;\;+\infty[\).
4) Vérifier les résultats à l'aide de la courbe représentative de la fonction \(f\) ci-dessous.
