1 – Définition
Définition 1 : Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels tel que \(a \neq 0\). On appelle polynôme du second degré toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\).
Exemple 1 :
\(f(x) = x^2 - 3x + 5\) est une fonction du second degré. On a \(a = 1\) ; \(b = -3\) et \(c = 5\).
2 – Représentation graphique et sens de variation
Propriété 1 :
● La courbe d'une fonction du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est une parabole.
● Si \(a > 0\) alors la parabole est orientée vers le haut, si \(a < 0\) alors la parabole est orientée vers le bas.
● De plus si on pose \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\) alors le sommet \(S\) de la parabole a pour coordonnées \(S(\alpha\;;\;\beta)\).
● La courbe d'une fonction du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est une parabole.
● Si \(a > 0\) alors la parabole est orientée vers le haut, si \(a < 0\) alors la parabole est orientée vers le bas.
● De plus si on pose \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\) alors le sommet \(S\) de la parabole a pour coordonnées \(S(\alpha\;;\;\beta)\).
Remarque : A partir de l'orientation de la parabole et des coordonnées de son sommet on peut déduire facilement le tableau de variation de la fonction.
Exemple 2 :
Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes :
● \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 3x - 2\) : Les coefficients sont \(a = 0{,}5\) ; \(b = 3\) et \(c = -2\). \[\alpha = -\dfrac{3}{2 \times 0{,}5} = -\dfrac{3}{1} = -3\] \(\beta = f(-3) = \dfrac{1}{2} \times (-3)^2 + 3 \times (-3) - 2\)
\(= 4{,}5 - 9 - 2 = -6{,}5\) Orientation : Vers le haut Sommet : \(S(-3\;;\;-6{,}5)\)
3 – Fonctions particulières \(x \mapsto ax^2\) et \(x \mapsto ax^2 + c\)
Influence du coefficient \(a\) (\(a > 0\))
● Plus \(a\) est grand, plus la parabole se « resserre ».
● Plus \(a\) est petit, plus la parabole « s'écarte ».
● Le sommet est l'origine du repère.
● Plus \(a\) est petit, plus la parabole « s'écarte ».
● Le sommet est l'origine du repère.
Passage de \(a > 0\) à \(a < 0\)
● La courbe de \(x \mapsto -ax^2\) est le symétrique de la courbe de \(x \mapsto ax^2\) par rapport à l'axe des abscisses.
Influence du coefficient \(c\)
● La courbe de \(x \mapsto ax^2 + c\) s'obtient par translation verticale de \(c\) unités de la courbe de \(x \mapsto ax^2\).
● Elle coupe l'axe des ordonnées en \(c\).
● Elle coupe l'axe des ordonnées en \(c\).
Remarque : Toutes ces fonctions particulières ont pour axe de symétrie l'axe des ordonnées \(x = 0\).
4 – Forme factorisée
Propriété 2 : Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) une fonction du second degré admettant deux racines \(x_1\) et \(x_2\) (distinctes ou confondues) alors \(f\) se factorise sous la forme \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
Remarques :
- Les racines d'un polynôme sont les valeurs qui annulent la fonction : \(f(x_1) = f(x_2) = 0\).
- \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est la forme développée et \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) la forme factorisée.
- Si \(x_1\) et \(x_2\) sont confondues alors on peut noter \(x_0\) l'unique racine et on a alors \(f(x) = a(x - x_0)^2\).
- Si \(f\) n'admet pas de racines alors la fonction \(f\) n'admet pas de forme factorisée.
Exemple 3 :
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = 3x^2 - 9x - 30\).
1) Vérifier que \(-2\) et \(5\) sont les racines de la fonction \(f\). \[f(-2) = 3 \times (-2)^2 - 9 \times (-2) - 30 = 12 + 18 - 30 = 0\] \[f(5) = 3 \times 5^2 - 9 \times 5 - 30 = 75 - 45 - 30 = 0\] 2) En déduire la forme factorisée de \(f\).
La forme factorisée de \(f\) est donc \(f(x) = 3(x - (-2))(x - 5) = 3(x + 2)(x - 5)\).
5 – Courbe et signe des fonctions \(x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2)\)
Propriété 3 : Soit \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) une fonction du second degré écrite sous forme factorisée.
● La parabole de \(f\) coupe l'axe des abscisses en \(x_1\) et \(x_2\).
● L'axe de symétrie de la parabole a pour équation \(x = \alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\).
● La parabole de \(f\) coupe l'axe des abscisses en \(x_1\) et \(x_2\).
● L'axe de symétrie de la parabole a pour équation \(x = \alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\).
Exemple 4 :
Tracer l'allure de la courbe de la fonction \(f(x) = 3x^2 - 9x - 30 = 3(x + 2)(x - 5)\).
● \(a > 0\) donc la parabole est orientée vers le haut.
● La parabole coupe l'axe des abscisses en \(x_1 = -2\) (\(A\)) et \(x_2 = 5\) (\(B\)).
● La parabole coupe l'axe des ordonnées en \(c = -30\) (\(C\)).
● On a \(\alpha = \dfrac{-2 + 5}{2} = 1{,}5\).
● Axe de symétrie : \(x = 1{,}5\) (\(D\)).
● \(\beta = f(1{,}5) = 3 \times 1{,}5^2 - 9 \times 1{,}5 - 30 = -36{,}75\).
● Le sommet est en \(S(1{,}5\;;\;-36{,}75)\).
Propriété 4 : Soit \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) une fonction du second degré écrite sous forme factorisée, alors la fonction \(f\) est toujours du signe du coefficient \(a\) sauf entre ses racines.
Exemple 5 :
Réaliser le tableau de signe de la fonction \(f(x) = 3x^2 - 9x - 30 = 3(x + 2)(x - 5)\).
\(a > 0\) donc la fonction \(f\) sera positive sauf entre \(-2\) et \(5\) où elle sera négative.
