1 – Définition
Définition 1 : On appelle fonction affine toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) qui peut s'écrire sous la forme \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
Exemple 1 :
\(f(x) = 3x - 5\) est une fonction affine. Ses coefficients sont \(a = 3\) et \(b = -5\).
Cas particuliers :
● Si \(b = 0\), c'est-à-dire \(f(x) = ax\), on dit que \(f\) est une fonction linéaire.
● Si \(a = 0\), c'est-à-dire \(f(x) = b\), on dit que \(f\) est une fonction constante.
2 – Représentation graphique
Propriété 1 : Dans un repère la courbe représentative d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est une droite.
On dit que cette droite a pour équation \(y = ax + b\).
On dit que cette droite a pour équation \(y = ax + b\).
Interprétation graphique :
● \(a\) est appelée le coefficient directeur.
Il correspond à la pente de la droite qui représente \(f\).
● \(b\) est appelée l'ordonnée à l'origine.
La droite coupe l'axe des ordonnées en \(b\). C'est l'image de \(0\) par \(f\).
● La droite coupe l'axe des abscisses en \(-\dfrac{b}{a}\). C'est l'antécédent de \(0\) par \(f\).
● \(a\) est appelée le coefficient directeur.
Il correspond à la pente de la droite qui représente \(f\).
● \(b\) est appelée l'ordonnée à l'origine.
La droite coupe l'axe des ordonnées en \(b\). C'est l'image de \(0\) par \(f\).
● La droite coupe l'axe des abscisses en \(-\dfrac{b}{a}\). C'est l'antécédent de \(0\) par \(f\).
Exemple 2 :
La droite du graphique précédent a pour équation \(y = 2x + 4\).
Exemple 3 :
Représenter graphiquement la fonction \(f\) définie par \(f(x) = -2x + 5\).
\(f\) est une fonction affine donc elle est représentée par une droite.
Pour tracer cette droite on a besoin de deux points de celle-ci :
| \(x\) | \(0\) | \(4\) |
| \(f(x)\) | \(5\) | \(-3\) |
\(f(4) = -2 \times 4 + 5 = -3\)
On place donc les points \(A(0\;;\;5)\) et \(B(4\;;\;-3)\).
La droite \((AB)\) est la représentation graphique de la fonction \(f\).
Remarques :
- La droite représentative d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère.
- La droite représentative d'une fonction constante est horizontale : Son équation est de la forme \(y = k\).
- Les fonctions affines sont des droites mais certaines droites ne sont pas des fonctions affines :
Les droites verticales qui ne sont pas des fonctions : Leur équation est de la forme \(x = k\).
3 – Sens de variation et signe d'une fonction affine
Propriété 2 : On considère une fonction affine \(f(x) = ax + b\).
● \(f\) s'annule en \(x_0 = -\dfrac{b}{a}\).
● Si \(a > 0\) alors \(f\) est croissante et :
● Si \(a < 0\) alors \(f\) est décroissante et :
● \(f\) s'annule en \(x_0 = -\dfrac{b}{a}\).
● Si \(a > 0\) alors \(f\) est croissante et :
Exemple 4 :
Réaliser le tableau de signe des fonctions suivantes :
1) \(f(x) = 4x + 2\)
\(x_0 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{4} = -0{,}5\) et \(a = 4 > 0\).
\(f\) est croissante donc d'abord « \(-\) » puis « \(+\) ».
\(x_0 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{-4}{-\frac{1}{3}} = 4 \times \dfrac{3}{1} = 12\) et \(a = -\dfrac{1}{3} < 0\).
\(g\) est décroissante donc d'abord « \(+\) » puis « \(-\) ».
4 – Fonction affine passant par deux points
Propriété 3 : Soit \((d)\) une droite d'équation \(y = ax + b\) passant par 2 points \(A(x_A\;;\;y_A)\) et \(B(x_B\;;\;y_B)\) alors :
\[a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{\text{Déplacement vertical entre A et B}}{\text{Déplacement horizontal entre A et B}}\]
Exemple 5 :
Déterminer la fonction affine \(f\) qui passe par les points \(A(1\;;\;-2)\) et \(B(5\;;\;6)\).
● Comme \(f\) est une fonction affine elle est représentée par une droite d'équation \(y = ax + b\).
● On commence par calculer le coefficient directeur : \[a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{6 - (-2)}{5 - 1} = \dfrac{8}{4} = 2\] Donc \(y = 2x + b\).
● Pour trouver \(b\), on résout une équation en utilisant un des deux points proposés :
Comme \(A(1\;;\;-2)\) est un point de la droite on peut remplacer \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point \(A\).
\(y = 2x + b\)
\(-2 = 2 \times 1 + b\)
\(-2 = 2 + b\)
\(-2 - 2 = b\)
\(b = -4\)
● Ainsi, l'équation de la droite \((AB)\) est \(y = 2x - 4\).
La fonction \(f\) est \(f(x) = 2x - 4\).
