1 – Dérivée et Sens de variation
Propriété 1 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
● La fonction \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est positive sur \(I\).
● La fonction \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est négative sur \(I\).
● La fonction \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est positive sur \(I\).
● La fonction \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est négative sur \(I\).
Explication : Cette propriété est admise mais en voici une explication intuitive.
Dire que \(f'\) est positive sur \(I\) signifie que la « pente » de la courbe est positive en tout point \(a\) de \(I\). La fonction est donc croissante sur \(I\).
Dire que \(f'\) est négative sur \(I\) signifie que la « pente » de la courbe est négative en tout point \(a\) de \(I\). La fonction est donc décroissante sur \(I\).
Remarque : Pour étudier les variations d'une fonction \(f\), on peut donc étudier le signe de sa dérivée \(f'\) : pour une fonction polynôme, on est alors amené à étudier une fonction plus simple car de degré inférieur.
Exemple 1 :
Déterminer le sens de variation de la fonction \(f(x) = -3x + 5\).
On commence par dériver la fonction \(f\) : \(f'(x) = -3\).
\(f'\) est une fonction constante, négative sur \(\mathbb{R}\).
\(f\) est donc une fonction décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Exemple 2 :
Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = 2x^2 - 12x + 5\).
1) Dériver la fonction \(f\). Quelle est la forme de la fonction \(f'\) ?
\[f'(x) = 2 \times 2x - 12 \times 1 + 0 = 4x - 12\]
\(f'\) est une fonction affine et sera donc représentée par une droite.
2) En quelle valeur la dérivée \(f'\) s'annule-t-elle ? \(f'(x) = 0\)
\(\Longleftrightarrow 4x - 12 = 0\)
\(\Longleftrightarrow 4x = 12 \Longleftrightarrow x = \dfrac{12}{4} = 3\) 3) Tracer la dérivée \(f'\) dans le repère ci-contre et indiquer son allure.
Son coefficient directeur \(a = 4\) est positif donc la droite monte.
4) Compléter le tableau ci-dessous.
\[f(3) = 2 \times 3^2 - 12 \times 3 + 5 = 18 - 36 + 5 = -13\]
5) Tracer l'allure de la courbe de \(f\) dans le repère ci-contre.
Fonction dérivée \(f'\)
Fonction \(f\)
Exemple 3 :
Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f(x) = x^3 - 1{,}5x^2 - 6x + 2\).
1) Dériver la fonction \(f\). Quelle est la forme de la fonction \(f'\) ?
\[f'(x) = 3x^2 - 1{,}5 \times 2x - 6 \times 1 + 0 = 3x^2 - 3x - 6\]
\(f'\) est un polynôme du second degré. Sa courbe est une parabole.
2) Montrer que \(f'\) peut s'écrire sous la forme : \(f'(x) = 3(x + 1)(x - 2)\) \[\begin{aligned} 3(x + 1)(x - 2) &= 3(x^2 - 2x + x - 2) \\ &= 3(x^2 - x - 2) \\ &= 3x^2 - 3x - 6 \\ &= f'(x) \end{aligned}\] 3) Représenter l'allure de la fonction \(f'\) dans le repère ci-contre.
\(a = 3 > 0\) donc la parabole est orientée vers le haut.
4) Compléter le tableau suivant :
\[f(-1) = (-1)^3 - 1{,}5 \times (-1)^2 - 6 \times (-1) + 2 = 5{,}5\]
\[f(2) = (2)^3 - 1{,}5 \times (2)^2 - 6 \times 2 + 2 = -8\]
5) Tracer l'allure de la courbe de \(f\) dans le repère ci-contre.
Fonction \(f\)
2 – Dérivée et Extremums
Définition 1 : Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
• On dit que \(f\) admet un maximum local en \(a\), si au voisinage de \(a\), \(f(a)\) est la plus grande des images.
• On dit que \(f\) admet un minimum local en \(a\), si au voisinage de \(a\), \(f(a)\) est la plus petite des images.
• On dit que \(f\) admet un maximum local en \(a\), si au voisinage de \(a\), \(f(a)\) est la plus grande des images.
• On dit que \(f\) admet un minimum local en \(a\), si au voisinage de \(a\), \(f(a)\) est la plus petite des images.
Propriété 2 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). La fonction \(f\) admet un extremum local en \(a\) si et seulement si la dérivée \(f'\) s'annule en \(a\) en changeant de signe.
Remarque : On peut facilement lire les extremums locaux dans le tableau de variation.
Exemple 4 :
Reprendre les trois exemples précédents et indiquer les extremums locaux.
● Ex 1 : La dérivée \(f'\) ne s'annule pas. La fonction \(f\) n'admet donc pas d'extremums locaux.
● Ex 2 : La fonction \(f\) admet un minimum local (il est d'ailleurs global) en \(x = 3\) qui vaut \(-13\).
● Ex 3 : La fonction \(f\) admet un maximum local en \(-1\) qui vaut \(5{,}5\) et un minimum local en \(2\) qui vaut \(-8\).
Remarque : La condition \(f'(a) = 0\) ne suffit pas pour avoir un extremum local, \(f'\) doit également changer de signe en \(a\) : « \(-\) puis \(+\) » correspond à un minimum local et « \(+\) puis \(-\) » correspond à un maximum local.
Graphiquement :
• Un maximum local correspond à un « pic ».
• Un minimum local correspond à un « creux ».
Graphiquement :
• Un maximum local correspond à un « pic ».
• Un minimum local correspond à un « creux ».
