1 – Définition de la fonction \(f'\)
Dérivabilité d'une fonction : Une fonction \(f\) est dérivable en un nombre \(a\) si l'on peut tracer la tangente \(T_a\) à sa courbe au niveau du point d'abscisse \(a\) et que celle-ci admet un coefficient directeur. On note alors \(f'(a)\) le coefficient directeur de cette tangente, ce qui correspond en quelque sorte à la pente de la courbe de \(f\) en \(a\). On dit que \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) si elle est dérivable en tout point \(a\) de \(I\).
Définition 1 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). La fonction dérivée de \(f\) est la fonction \(f'\), qui à chaque nombre \(x\) de \(I\), associe le nombre dérivée \(f'(x)\), c'est-à-dire la pente de la courbe en \(x\).
2 – Dérivées des fonctions usuelles
Voici les fonctions dérivées des fonctions usuelles (\(c\) désigne une constante réelle et \(n\) un entier positif) :
| Fonction \(f\) | Fonction dérivée \(f'\) | Intervalle de dérivabilité |
| \(f(x) = c\) | \(f'(x) = 0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x\) | \(f'(x) = 1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^2\) | \(f'(x) = 2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^3\) | \(f'(x) = 3x^2\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^n\) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
Exemple 1 :
La pente de la fonction carré en \(x = 1\) est donnée par sa fonction dérivée : \(f'(1) = 2 \times 1 = 2\).
3 – Opérations sur les dérivées
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et \(k\) un nombre réel.
| Opération | Fonction \(f\) | Fonction \(f'\) |
| Somme | \(f = u + v\) | \(f' = u' + v'\) |
| Produit par un réel | \(f = k \times u\) | \(f' = k \times u'\) |
Remarque : Si \(f = u - v\) alors on a \(f' = u' - v'\) car \(f\) peut alors s'écrire \(f = u + (-1) \times v\).
Exemple 2 :
Dériver les fonctions suivantes :
● Fonction : \(f(x) = 2x + 3\) Dérivée : \(f'(x) = 2\)
● Fonction : \(f(x) = 5x^2\) Dérivée : \(f'(x) = 5 \times 2x = 10x\)
● Fonction : \(f(x) = 2x^2 - 3x + 5\) Dérivée : \(f'(x) = 2 \times 2x - 3 \times 1 + 0 = 4x - 3\)
● Fonction : \(f(x) = -3x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 + 10\) Dérivée : \(f'(x) = -3 \times 3x^2 + \dfrac{1}{2} \times 2x + 0 = -9x^2 + x\)
Remarque : Avec les formules précédentes on peut calculer la fonction dérivée de n'importe quel polynôme : sa dérivée est un polynôme de degré inférieur.
