1 – Introduction
● La pente d'une droite est constante : elle est donnée par son coefficient directeur.
● La pente de la courbe d'une fonction \(f\), elle, évolue : elle n'est pas la même en chaque point.
● Le nombre dérivée, qui sera noté \(f'(a)\), permet de représenter la pente de sa courbe en la valeur \(x = a\).
● Pour pouvoir définir la pente d'une courbe en un point nous avons besoin d'une droite qui « approxime » la courbe autour de ce point : c'est ce que l'on appelle une tangente.
● La pente de la courbe d'une fonction \(f\), elle, évolue : elle n'est pas la même en chaque point.
● Le nombre dérivée, qui sera noté \(f'(a)\), permet de représenter la pente de sa courbe en la valeur \(x = a\).
● Pour pouvoir définir la pente d'une courbe en un point nous avons besoin d'une droite qui « approxime » la courbe autour de ce point : c'est ce que l'on appelle une tangente.
Fig 1 : Droite : \(y = \dfrac{1}{2}x + 1\)
Sa pente est constante égale à \(0{,}5\)
Fig 2 : Une courbe de fonction
\(f'(a) = \) pente de la courbe en \(a\)
Fig 3 : Une courbe et sa tangente en \(1\)
\(f'(1) = \) pente de \(T_1 = 2\)
Construction mathématique : Nous allons maintenant voir comment construire la tangente à une courbe en un point et comment définir le nombre \(f'(a)\).
● Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(A\) un point de sa courbe.
● On s'intéresse à la pente de sa courbe au niveau d'un point \(A\) d'abscisse \(x = a\).
● Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(A\) un point de sa courbe.
● On s'intéresse à la pente de sa courbe au niveau d'un point \(A\) d'abscisse \(x = a\).
Etape 1 : Choix d'un pas et construction de la sécante.
• On choisit un pas \(h > 0\).
• A partir du point \(A\), on avance de ce pas \(h\) sur l'axe des abscisses. On obtient alors le point \(M\) de la courbe de \(f\) d'abscisse \(a + h\).
• On peut donc considérer la droite \((AM)\) appelée la sécante.
Etape 2 : Taux d'accroissement entre \(A\) et \(M\) :
• Calculons le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) :
Etape 3 : On fait tendre \(h\) vers \(0\) : \(h \rightarrow 0\)
• Le point \(M\) se rapproche de \(A\), et la sécante \((AM)\) se rapproche d'une « position limite » : c'est la tangente à la courbe de \(f\) en \(a\).
• Le taux d'accroissement se rapproche donc d'une valeur limite qui coïncide avec la pente de la tangente : c'est cette valeur limite qui correspond au nombre dérivée \(f'(a)\).
• On choisit un pas \(h > 0\).
• A partir du point \(A\), on avance de ce pas \(h\) sur l'axe des abscisses. On obtient alors le point \(M\) de la courbe de \(f\) d'abscisse \(a + h\).
• On peut donc considérer la droite \((AM)\) appelée la sécante.
Etape 2 : Taux d'accroissement entre \(A\) et \(M\) :
• Calculons le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) :
\[\tau = \dfrac{y_M - y_A}{x_M - x_A} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{(a + h) - a} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
• C'est le coefficient directeur de la sécante \((AM)\).
Etape 3 : On fait tendre \(h\) vers \(0\) : \(h \rightarrow 0\)
• Le point \(M\) se rapproche de \(A\), et la sécante \((AM)\) se rapproche d'une « position limite » : c'est la tangente à la courbe de \(f\) en \(a\).
• Le taux d'accroissement se rapproche donc d'une valeur limite qui coïncide avec la pente de la tangente : c'est cette valeur limite qui correspond au nombre dérivée \(f'(a)\).
2 – Nombre dérivée
Définition 1 : On dit que \(f\) est dérivable en \(a\), lorsque le taux d'accroissement \(\tau = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\) tend vers un nombre réel lorsque \(h\) tend vers \(0\). Ce nombre est appelé nombre dérivée de \(f\) en \(a\) et est noté \(f'(a)\).
On écrit alors : \[f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
On écrit alors : \[f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction carré : \(f(x) = x^2\)
Calculons le taux d'accroissement \(\tau\) de la fonction \(f\) entre \(1\) et \(1 + h\) : \(\tau = \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \dfrac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}\)
\(= \dfrac{1^2 + 2h + h^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h\) Lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), le taux d'accroissement se rapproche de \(2\) : cela s'écrit \(\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} 2 + h = 2\).
La fonction carré est donc dérivable en \(1\), et \(f'(1) = 2\).
Remarque : Une fonction n'est pas toujours dérivable en un point : parfois, le taux d'accroissement devient de plus en plus grand et ne se rapproche pas d'un nombre réel. C'est le cas de la fonction racine carrée en \(0\).
3 – Tangente à une courbe en un point
Définition 2 : Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\), la tangente \(T_a\) à la courbe de \(f\) au niveau du point \(A\) est la droite qui passe par \(A\) et a pour coefficient directeur \(f'(a)\).
Remarque : Ainsi, lorsque la tangente \(T_a\) est tracée, on peut lire graphiquement le nombre dérivée \(f'(a)\).
Exemple 2 :
Soit \(f(x) = x^2\) dont on a tracé ci-contre sa courbe ainsi que les tangentes \(T_2\), \(T_{-1}\) et \(T_{-3}\) au niveau des points \(B\), \(C\) et \(D\). L'axe \(Ox\) est tangent à la courbe en \(0\). Déterminer graphiquement les nombres dérivées suivants :
● \(f'(2) = \) coefficient directeur de \(T_2 = 4\)
● \(f'(-1) = \) coefficient directeur de \(T_{-1} = -2\)
● \(f'(-3) = \) coefficient directeur de \(T_{-3} = -6\)
● \(f'(0) = \) coefficient directeur de \(T_0\) (c'est l'axe \(Ox\)) \(= 0\)
Propriété 1 : Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\) alors la tangente \(T_a\) a pour équation :
\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]
Exemple 3 :
Soit \(f(x) = x^2\) dont on a tracé ci-contre sa courbe et soit \(A\) le point de sa courbe d'abscisse \(a = 1\). Donner une équation de la tangente \(T_1\) puis tracer la sur le graphique ci-contre :
\(T_1\) a pour équation \(y = f'(1)(x - 1) + f(1)\).
Or d'après l'exemple 1, on a \(f'(1) = 2\) et on a aussi \(f(1) = 1^2 = 1\).
L'équation de \(T_1\) devient \(y = 2(x - 1) + 1\) c'est-à-dire \(y = 2x - 2 + 1\).
D'où finalement \(y = 2x - 1\).
A partir de l'équation on peut alors tracer la tangente.
