1 – Définition
On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) ainsi que deux nombres \(a\) et \(b\) de \(I\).
Définition 1 : On appelle taux d'accroissement (ou de variation) de \(f\) entre \(a\) et \(b\) le nombre
\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
Remarque : Soient \(A\) et \(B\) les points de la courbe de \(f\) d'abscisses respectives \(a\) et \(b\).
Graphiquement, le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) correspond alors au coefficient directeur de la droite \((AB)\) :
Comme \(A(a\;;\;f(a))\) et \(B(b\;;\;f(b))\) on a : \[\text{pente de } (AB) = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
Graphiquement, le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) correspond alors au coefficient directeur de la droite \((AB)\) :
Comme \(A(a\;;\;f(a))\) et \(B(b\;;\;f(b))\) on a : \[\text{pente de } (AB) = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction carré : \(f(x) = x^2\)
1) Calculer le taux d'accroissement de la fonction \(f\) entre \(1\) et \(3\). \[\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{3^2 - 1^2}{3 - 1} = \dfrac{9 - 1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\] 2) Lire graphiquement le taux d'accroissement de \(f\) entre \(-2\) et \(-1\).
On place les points \(A\) et \(B\) de la courbe d'abscisses \(-2\) et \(-1\).
Il s'agit du coefficient directeur de la droite \((AB)\) : \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = -3\).
Exemple 2 :
La courbe \(f\) ci-dessous représente l'évolution de la population française entre \(1200\) et \(2000\).
a. Entre \(1400\) et \(1600\) : \[\dfrac{f(1600) - f(1400)}{1600 - 1400} = \dfrac{18\;000 - 20\;000}{200} = -10\] La population française a perdu en moyenne \(10\) milliers d'habitants par an entre \(1400\) et \(1600\).
b. Entre \(1850\) et \(1900\) : \[\dfrac{f(1900) - f(1850)}{1900 - 1850} = \dfrac{39\;000 - 36\;000}{50} = 60\] La population française a gagné en moyenne \(60\) milliers d'habitants par an entre \(1850\) et \(1900\).
c. Entre \(1950\) et \(2000\) : \[\dfrac{f(2000) - f(1950)}{2000 - 1950} = \dfrac{59\;000 - 42\;000}{50} = 340\] La population française a gagné en moyenne \(340\) milliers d'habitants par an entre \(1950\) et \(2000\).
2) Estimer graphiquement le taux d'accroissement de la population française entre \(1750\) et \(1850\).
On place les points \(A\) et \(B\) de la courbe d'abscisses respectives \(1750\) et \(1850\).
Le taux d'accroissement est égal au coefficient directeur de la droite \((AB)\) : \[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{10\;000}{100} = 100\]
2 – Lien avec le sens de variation
Propriété 1 : On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\).
● \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si pour tout nombre \(a\) et \(b\) de \(I\), le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est positif.
● \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si pour tout nombre \(a\) et \(b\) de \(I\), le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est négatif.
● \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si pour tout nombre \(a\) et \(b\) de \(I\), le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est positif.
● \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si pour tout nombre \(a\) et \(b\) de \(I\), le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est négatif.
Exemple 3 :
Reprenons l'exemple précédent.
● La population française est croissante sur l'intervalle \(I = [1750\;;\;1900]\) donc le taux d'accroissement entre deux années de cet intervalle (par exemple entre \(1850\) et \(1900\)) est positif.
● La population française est décroissante sur l'intervalle \(I = [1350\;;\;1600]\) donc le taux d'accroissement entre deux années de cet intervalle (par exemple entre \(1400\) et \(1600\)) est négatif.
Exemple 4 :
Soit \(f\) la fonction carré : \(f(x) = x^2\)
● Le taux d'accroissement entre deux nombres positifs est toujours positif :
La fonction carré est donc croissante sur \([0\;;\;+\infty[\)
● Le taux d'accroissement entre deux nombres négatifs est toujours négatif :
La fonction carré est donc décroissante sur \(]-\infty\;;\;0]\)
3 – Taux de variation d'une fonction affine
Propriété 2 : Le taux de variation d'une fonction affine entre deux nombres \(a\) et \(b\) est constant égal à son coefficient directeur.
Exemple 5 :
On considère la fonction \(f(x) = 3x + 1\). Montrer que le taux de variation de \(f\) est constant.
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) : \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{3b + 1 - (3a + 1)}{b - a}\)
\(= \dfrac{3b + 1 - 3a - 1}{b - a} = \dfrac{3b - 3a}{b - a} = \dfrac{3(b - a)}{b - a} = 3\) Le taux de variation de \(f\) est donc constant égal à \(3\) (qui est le coefficient directeur de \(f\)).
