1 – Tableau croisé d'effectifs
● En statistiques, on étudie parfois simultanément deux caractères au sein d'une même population.
● Pour représenter simultanément les effectifs des deux caractères, on utilise un tableau croisé d'effectifs :
● Pour représenter simultanément les effectifs des deux caractères, on utilise un tableau croisé d'effectifs :
Définition 1 : Un tableau croisé d'effectifs est un tableau à double entrée :
● Une entrée en colonne où sont notés les valeurs du 1er caractère.
● Une entrée en ligne où sont notés les valeurs du 2ème caractère.
● Dans une cellule du tableau, on indique l'effectif des individus qui présentent simultanément la valeur des deux caractères indiqués dans la ligne et la colonne correspondante.
● En marge du tableau, on rajoute une rangée « Total » dans laquelle on indique l'effectif de chacune des valeurs pour les deux caractères.
Vocabulaire : Les effectifs qui apparaissent dans une rangée « Total » sont appelées effectifs marginaux.
● Une entrée en colonne où sont notés les valeurs du 1er caractère.
● Une entrée en ligne où sont notés les valeurs du 2ème caractère.
● Dans une cellule du tableau, on indique l'effectif des individus qui présentent simultanément la valeur des deux caractères indiqués dans la ligne et la colonne correspondante.
● En marge du tableau, on rajoute une rangée « Total » dans laquelle on indique l'effectif de chacune des valeurs pour les deux caractères.
Vocabulaire : Les effectifs qui apparaissent dans une rangée « Total » sont appelées effectifs marginaux.
Méthode : Pour compléter un tableau croisé d'effectifs, on commence par compléter les valeurs connues dans l'énoncé puis on effectue des additions/soustractions pour compléter les valeurs manquantes.
Exemple 1 :
Dans une entreprise, on s'intéresse à la répartition des salariés selon leur sexe et leur salaire. On dispose des informations suivantes : Il y a au total \(300\) salariés dont \(43\%\) de femmes. Un tiers des salariés gagne \(2000€\) ou plus dont seulement le quart sont des femmes.
1) Quels sont les deux caractères étudiés ainsi que leur valeur.
1er Caractère : Sexe (\(Homme\) ou \(Femme\)) 2ème Caractère : Salaire (\(< 2000€\) ou \(\geq 2000€\))
2) Compléter le tableau croisé d'effectifs suivant en faisant apparaître les calculs
| \(< 2000€\) | \(\geq 2000€\) | \(Total\) | |
| \(Homme\) | \(96\) | \(75\) | \(171\) |
| \(Femme\) | \(104\) | \(\mathbf{25}\) | \(\mathbf{129}\) |
| \(Total\) | \(200\) | \(\mathbf{100}\) | \(\mathbf{300}\) |
● \(0{,}43 \times 300 = 129\)
● \(\dfrac{1}{3} \times 300 = 100\)
● \(\dfrac{1}{4} \times 100 = 25\)
3) A l'aide du tableau, déterminer :
a. Le nombre de femme gagnant moins de \(2000€\) : \(104\) individus
b. L'effectif marginal de la valeur « Homme » : \(171\) individus
2 – Tableau des fréquences par rapport à l'effectif total
Définition 2 : La fréquence d'une valeur est le quotient :
\[\text{fréquence} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\]
Remarque : La fréquence est donc un nombre entre 0 et 1 qui peut s'exprimer sous forme fractionnaire, décimale ou bien d'un pourcentage.
Exemple 2 :
Dans une classe de 35 élèves il y a 14 filles. Quelle est la fréquence de fille dans la classe ?
\(\text{Effectif total} = 35\) ; \(\text{Effectif} = 14\)
\(\text{Fréquence} = \dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\%\)
Définition 3 :
● Le tableau des fréquences par rapport à l'effectif global s'obtient en divisant chaque cellule du tableau croisé d'effectifs par l'effectif total.
● En marge de ce tableau on peut lire les fréquences marginales qui correspondent aux fréquences de chacune des valeurs pour les deux caractères.
● Le tableau des fréquences par rapport à l'effectif global s'obtient en divisant chaque cellule du tableau croisé d'effectifs par l'effectif total.
● En marge de ce tableau on peut lire les fréquences marginales qui correspondent aux fréquences de chacune des valeurs pour les deux caractères.
Exemple 3 :
On reprend la série étudiée dans l'exemple 1.
1) Compléter le tableau des fréquences par rapport à l'effectif global
| \(< 2000€\) | \(\geq 2000€\) | \(Total\) | |
| \(Homme\) | \(\dfrac{96}{300} = 0{,}32 = 32\%\) | \(\dfrac{75}{300} = 0{,}25 = 25\%\) | \(\dfrac{171}{300} = 0{,}57 = 57\%\) |
| \(Femme\) | \(\dfrac{104}{300} \approx 0{,}347 \approx 34{,}7\%\) | \(\dfrac{25}{300} = 0{,}083 = 8{,}3\%\) | \(\dfrac{129}{300} = 0{,}43 = 43\%\) |
| \(Total\) | \(\dfrac{200}{300} = \dfrac{2}{3} = 66{,}7\%\) | \(\dfrac{100}{300} = \dfrac{1}{3} = 33{,}3\%\) | \(1 = 100\%\) |
3 – Fréquences conditionnelles
● On parle de fréquences conditionnelles lorsque l'on fixe une valeur de l'un des deux caractères.
● On ne raisonne donc plus par rapport à l'effectif total mais par rapport au nombre d'individus présentant la valeur fixée.
● On ne raisonne donc plus par rapport à l'effectif total mais par rapport au nombre d'individus présentant la valeur fixée.
Définition 4 : La fréquence conditionnelle de la valeur \(a\) sachant la valeur \(b\) est le quotient du nombre d'individus présentant simultanément les deux valeurs \(a\) et \(b\) sur l'effectif marginal de la valeur \(b\).
Exemple 4 :
On reprend la série étudiée dans l'exemple 1.
1) Parmi les femmes, calculer la fréquence conditionnelle des salariés gagnant \(2000€\) ou plus.
La valeur fixée est \(Sexe = Femme\). On raisonne donc par rapport à \(129\) individus.
\(f = \dfrac{25}{129} \approx 0{,}19\). Donc \(19\%\) des femmes gagnent \(2000€\) ou plus.
2) Calculer la fréquence conditionnelle des femmes sachant qu'il s'agit de salariés gagnant \(2000€\) ou plus.
La valeur fixée est \(Salaire \geq 2000€\). On raisonne donc par rapport à \(100\) individus.
\(f = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%\). Donc \(25\%\) des salariés gagnant \(2000€\) ou plus sont des femmes.
Remarque : La fréquence conditionnelle de \(a\) sachant \(b\) et de \(b\) sachant \(a\) sont généralement différentes.
