Cours n°2 — Probabilités conditionnelles

Dans un jeu de \(52\) cartes on pioche une carte au hasard.

1) a. Justifier qu'il s'agit bien d'une expérience aléatoire.
Il s'agit d'une expérience dont on ne peut prévoir le résultat à l'avance

b. Quel est l'univers associé à cette expérience aléatoire ?
L'univers noté \(\Omega\) est l'ensemble des résultats possibles de l'expérience : \(\Omega = \{A\spadesuit\;;\;A\heartsuit\;;\;A\diamondsuit\;;\;A\clubsuit\;;\;\ldots\;;\;2\clubsuit\}\)

c. Donner une issue possible.
Une issue est un des résultats possibles de l'expérience, par exemple \(D\heartsuit\). On note alors \(D\heartsuit \in \Omega\)

d. Est-on dans une situation d'équiprobabilité ?
Oui, car toutes les issues ont la même probabilité : on a autant de chance de piocher chaque carte.

2) Ecrire les événements suivants sous forme d'ensemble puis calculer leur probabilité :
\(A\) : « Piocher un coeur » : \(A = \{A\heartsuit\;;\;R\heartsuit\;;\;D\heartsuit\;;\;\ldots\;;\;2\heartsuit\}\). \[P(A) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%\] \(B\) : « Piocher une figure » : \(B = \{R\spadesuit\;;\;D\spadesuit\;;\;V\spadesuit\;;\;\ldots\;;\;V\clubsuit\}\). \[P(B) = \dfrac{12}{52} = \dfrac{3}{13} \approx 0{,}23 \approx 23\%\] 3) a. Calculer la probabilité de ne pas piocher de figure \[P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 = 75\%\] b. Calculer la probabilité de piocher un coeur et une figure
\(A \cap B = \{R\heartsuit\;;\;D\heartsuit\;;\;V\heartsuit\}\) donc \(P(A \cap B) = \dfrac{3}{52} \approx 0{,}06 \approx 6\%\)

c. Calculer la probabilité de piocher un coeur ou une figure \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
\(= \dfrac{13}{52} + \dfrac{12}{52} - \dfrac{3}{52} = \dfrac{22}{52} = \dfrac{11}{26} \approx 0{,}42 \approx 42\%\)

Toujours dans un jeu de 52 cartes on considère les deux évènements suivants :
\(A\) : « Piocher une figure rouge »      \(B\) : « Piocher un Roi »

● \(P(A) = \dfrac{6}{52} = \dfrac{3}{26} \approx 0{,}12\)      ● \(P(B) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} \approx 0{,}08\)

● \(P_A(B)\) désigne la probabilité de piocher un Roi sachant que c'est une figure rouge.
On pioche donc parmi les \(6\) cartes « Figures Rouges » et il y a \(2\) Cartes « Roi » donc \(P_A(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

● \(P_B(A)\) désigne la probabilité de piocher une figure rouge sachant que c'est un Roi.
On pioche cette fois-ci parmi les \(4\) Rois dont seulement \(2\) sont des figures rouges donc \(P_B(A) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)

Dans l'exemple précédent on a \(card(A) = 6\) ; \(card(B) = 4\) et \(card(A \cap B) = 2\).
On retrouve alors les probabilités conditionnelles :
\(P_A(B) = \dfrac{card(A \cap B)}{card(A)} = \dfrac{2}{6}\)    et    \(P_B(A) = \dfrac{card(A \cap B)}{card(B)} = \dfrac{2}{4}\)

Le tableau suivant donne la répartition des salariés d'une entreprise en fonction de leur sexe et de leur salaire (voir fiche précédente). On choisit un employé au hasard dans l'entreprise et on considère les deux évènements suivants : \(A\) : « L'employé est un Homme » et \(B\) : « L'employé gagne moins de \(2000\ €\) ». ● \(P(A) = \dfrac{card(A)}{card(\Omega)} = \dfrac{171}{300} = 0{,}57\)      ● \(P(B) = \dfrac{card(B)}{card(\Omega)} = \dfrac{200}{300} = \dfrac{2}{3}\)

● \(A \cap B\) : « L'employé est un Homme gagnant moins de \(2000\ €\) » \[P(A \cap B) = \dfrac{card(A \cap B)}{card(\Omega)} = \dfrac{96}{300} = 0{,}32\] ● \(A \cup B\) : « L'employé est un Homme ou gagne moins de \(2000\ €\) » \(P(A \cup B) = \dfrac{card(A) + card(B) - card(A \cap B)}{300}\)
\(= \dfrac{171 + 200 - 96}{300} = \dfrac{275}{300} = \dfrac{11}{12}\) ou bien \(P(A \cup B) = \dfrac{96 + 75 + 104}{300} = \dfrac{275}{300} = \dfrac{11}{12}\)

● \(P_A(B)\) désigne la probabilité de choisir un salarié qui gagne moins de \(2000€\) sachant que c'est un homme \[P_A(B) = \dfrac{card(A \cap B)}{card(A)} = \dfrac{96}{171}\] ● \(P_B(A)\) désigne la probabilité de choisir un homme sachant que c'est un salarié qui gagne moins de \(2000€\) \[P_B(A) = \dfrac{card(A \cap B)}{card(B)} = \dfrac{96}{200}\]