1 – Expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes
Définition 1 : On considère une expérience aléatoire qui se déroule en plusieurs étapes successives :
● On appelle « épreuve » une des étapes intermédiaires de l'expérience qui produit un résultat.
● Une issue de cette expérience est alors donnée par la liste des résultats obtenus à chacune des épreuves.
● On dit que deux épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de l'une n'a pas influence sur la probabilité des résultats de l'autre.
● On appelle « épreuve » une des étapes intermédiaires de l'expérience qui produit un résultat.
● Une issue de cette expérience est alors donnée par la liste des résultats obtenus à chacune des épreuves.
● On dit que deux épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de l'une n'a pas influence sur la probabilité des résultats de l'autre.
Remarques :
● On peut représenter une expérience aléatoire à plusieurs épreuves à l'aide d'un arbre de probabilité.
● L'arbre est dit pondéré si sur chacune des branches figure la probabilité de l'issue correspondante.
● Lorsque l'on répète une même épreuve dans les mêmes conditions initiales alors les épreuves obtenues sont indépendantes les unes des autres.
● On peut représenter une expérience aléatoire à plusieurs épreuves à l'aide d'un arbre de probabilité.
● L'arbre est dit pondéré si sur chacune des branches figure la probabilité de l'issue correspondante.
● Lorsque l'on répète une même épreuve dans les mêmes conditions initiales alors les épreuves obtenues sont indépendantes les unes des autres.
Exemple 1 :
On considère l'expérience aléatoire constitué des deux épreuves suivantes :
● Epreuve 1 : On lance une pièce de monnaie bien équilibrée. Univers : \(\Omega_1 = \{P\;;\;F\}\)
● Epreuve 2 : On tire un jeton dans une urne qui contient des lettres \(A\), \(B\) et \(C\). Univers : \(\Omega_2 = \{A\;;\;B\;;\;C\}\)
1) Donner une issue possible : \((P\;;\;B)\).
2) Justifier que les deux épreuves sont indépendantes
Le résultat de la pièce n'a pas d'influence sur la probabilité de piocher tel ou tel jeton.
3) Représenter l'expérience à l'aide d'un arbre de probabilité.
4) Si l'urne contient le même nombre de chacune des lettres, quelle est la probabilité de chaque issue ? Elle est de \(1/6\).
5) Dans l'urne il y a : \(5\) jetons « A » ; \(3\) jetons « B » et \(2\) jetons « C ».
Compléter l'arbre précédent pour qu'il soit pondéré.
2) Justifier que les deux épreuves sont indépendantes
Le résultat de la pièce n'a pas d'influence sur la probabilité de piocher tel ou tel jeton.
3) Représenter l'expérience à l'aide d'un arbre de probabilité.
4) Si l'urne contient le même nombre de chacune des lettres, quelle est la probabilité de chaque issue ? Elle est de \(1/6\).
5) Dans l'urne il y a : \(5\) jetons « A » ; \(3\) jetons « B » et \(2\) jetons « C ».
Compléter l'arbre précédent pour qu'il soit pondéré.
Propriété 1 : Dans un arbre pondéré représentant des épreuves indépendantes, la probabilité d'une issue est égal au produit des probabilités du chemin qui mène à cette issue.
Exemple 2 :
(Suite de l'exemple 1)
6) Calculer la probabilité de l'issue \((P\;;\;B)\) \[P(P\;;\;B) = \dfrac{1}{2} \times 0{,}3 = 0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\] 7) Calculer la probabilité d'obtenir une Voyelle.
Rappel : La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des issues qui le compose. \(P(\text{Obtenir une Voyelle})\)
\(= P(P\;;\;A) + P(F\;;\;A)\)
\(= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)
2 – Schéma de Bernoulli
Définition 2 : Une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) est une expérience avec \(2\) issues :
● Succès : noté « \(S\) » et de probabilité \(p\).
● Échec : noté « \(\overline{S}\) » et de probabilité \(q = 1 - p\).
● Succès : noté « \(S\) » et de probabilité \(p\).
● Échec : noté « \(\overline{S}\) » et de probabilité \(q = 1 - p\).
Exemple 3 :
On lance un dé bien équilibré et on considère comme « succès » le fait d'obtenir un « \(6\) ».
Cette expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p = \dfrac{1}{6}\).
On a pour succès \(S =\) « Obtenir un \(6\) » et pour échec \(\overline{S} =\) « Ne pas obtenir un \(6\) ».
La probabilité du succès est \(P(S) = \dfrac{1}{6}\). La probabilité de l'échec est \(P(\overline{S}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\).
Définition 3 : Un schéma de Bernoulli est la répétition plusieurs fois et de manière indépendante de la même épreuve de Bernoulli.
Remarque : On peut représenter un schéma de Bernoulli à l'aide d'un arbre pondéré :
● Chaque noeud de l'arbre sera identique et correspond à l'épreuve de Bernoulli que l'on répète.
● Le nombre de répétition correspond au nombre d'étages de l'arbre.
● Chaque noeud de l'arbre sera identique et correspond à l'épreuve de Bernoulli que l'on répète.
● Le nombre de répétition correspond au nombre d'étages de l'arbre.
Exemple 4 :
On lance \(3\) fois de suite un dé bien équilibré. On s'intéresse au nombre de « \(6\) » obtenus.
1) Justifier que cette expérience est un schéma de Bernoulli.
On répète \(3\) fois la même épreuve de Bernoulli avec comme succès \(S\) : « Obtenir un \(6\) » de paramètre \(p = \dfrac{1}{6}\).
Chaque lancer est indépendant des autres.
2) Représenter le schéma à l'aide d'un arbre pondéré
3) a. Quelle est la probabilité d'avoir \(3\) succès ? \(P(3\ Succ\grave{e}s) = P(SSS) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}\)
\(= \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 = \dfrac{1^3}{6^3} = \dfrac{1}{216} \approx 0{,}004 \approx 0{,}4\%\) b. Quelle est la probabilité d'avoir exactement \(1\) succès ? \(P(1\ Succ\grave{e}s) = P(S\overline{S}\overline{S}) + P(\overline{S}S\overline{S}) + P(\overline{S}\overline{S}S)\)
\(= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6}\)
\(= 3 \times \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{75}{216} \approx 0{,}347 \approx 34{,}7\%\) c. Quelle est la probabilité d'avoir au moins \(1\) succès ? \(P(au\ moins\ 1\ Succ\grave{e}s) = 1 - P(0\ Succ\grave{e}s)\)
\(= 1 - \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = 1 - \dfrac{125}{216}\)
\(= \dfrac{91}{216} \approx 0{,}421 \approx 42{,}1\%\)
On répète \(3\) fois la même épreuve de Bernoulli avec comme succès \(S\) : « Obtenir un \(6\) » de paramètre \(p = \dfrac{1}{6}\).
Chaque lancer est indépendant des autres.
2) Représenter le schéma à l'aide d'un arbre pondéré
3) a. Quelle est la probabilité d'avoir \(3\) succès ? \(P(3\ Succ\grave{e}s) = P(SSS) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}\)
\(= \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 = \dfrac{1^3}{6^3} = \dfrac{1}{216} \approx 0{,}004 \approx 0{,}4\%\) b. Quelle est la probabilité d'avoir exactement \(1\) succès ? \(P(1\ Succ\grave{e}s) = P(S\overline{S}\overline{S}) + P(\overline{S}S\overline{S}) + P(\overline{S}\overline{S}S)\)
\(= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6}\)
\(= 3 \times \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{75}{216} \approx 0{,}347 \approx 34{,}7\%\) c. Quelle est la probabilité d'avoir au moins \(1\) succès ? \(P(au\ moins\ 1\ Succ\grave{e}s) = 1 - P(0\ Succ\grave{e}s)\)
\(= 1 - \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = 1 - \dfrac{125}{216}\)
\(= \dfrac{91}{216} \approx 0{,}421 \approx 42{,}1\%\)
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