1 – La notion de variable aléatoire
Définition 1 : Une variable aléatoire \(X\) permet d'associer à chaque issue d'une expérience aléatoire, un nombre réel.
Remarque : On peut voir une variable aléatoire comme un nombre qui dépend du hasard : En fonction du résultat de l'expérience, la variable \(X\) prendra des valeurs différentes. Les variables aléatoires permettent par exemple de modéliser un gain (qui peut être positif ou négatif) dans un jeu de hasard.
Notation : Les conditions « \(X = a\) », « \(X < a\) », « \(X > a\) », « \(X \leq a\) » et « \(X \geq a\) » permettent de définir des évènements, auxquels correspond un ensemble d'issues et dont on peut calculer la probabilité.
Notation : Les conditions « \(X = a\) », « \(X < a\) », « \(X > a\) », « \(X \leq a\) » et « \(X \geq a\) » permettent de définir des évènements, auxquels correspond un ensemble d'issues et dont on peut calculer la probabilité.
Exemple 1 :
On considère le jeu suivant : On lance une pièce. Si la pièce tombe sur « \(Pile\) » alors on gagne \(1\ €\), si la pièce tombe sur « \(Face\) » on perd \(1\ €\). Soit \(X\) le gain du joueur.
● \(X\) est une variable aléatoire car sa valeur dépend du résultat de l'expérience :
● Si c'est « Pile » alors on aura \(X = 1\) et si c'est « Face » alors on aura \(X = -1\)
● \(P(X = 1) = P(\text{"Pile"}) = 1/2\) ● \(P(X = -1) = P(\text{"Face"}) = 1/2\)
Exemple 2 :
On considère le jeu suivant : On lance un dé. Si le dé tombe sur « \(1\) » alors on gagne \(1\) $, si le dé tombe sur « \(6\) » on gagne \(6\) $, sinon on perd \(2\) $. Soit \(X\) le gain du joueur.
● \(X\) est une variable aléatoire car sa valeur dépend du résultat obtenu avec le dé : \(1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;5\) ou \(6\)
● Les valeurs possibles pour \(X\) sont : \(1\), \(6\) et \(-2\).
● \(P(X > 0) = P(1\;;\;6) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\) ● \(P(X = -2) = P(2\;;\;3\;;\;4\;;\;5) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
2 – Loi de probabilité d'une variable aléatoire
Définition 2 : Donner la loi de probabilité d'une variable \(X\), c'est dire avec quelle probabilité la variable prend chacune des valeurs possibles.
Remarque : On présente souvent ces données sous la forme d'un tableau :
On a alors \(p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1\)
| Valeurs | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\ldots\) | \(x_n\) |
| Probabilités | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\ldots\) | \(p_n\) |
Exemple 3 :
(Suite de l'exemple 1) Si la pièce est bien équilibrée la loi de \(X\) est donnée par l'égalité :
\[P(X = 1) = P(X = -1) = 0{,}5\]
Exemple 4 :
(Suite de l'exemple 2) Si le dé est bien équilibré la loi de \(X\) est donnée par le tableau suivant :
| Valeurs | \(-2\) | \(1\) | \(6\) | Total |
| Probabilités | \(\dfrac{4}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(1\) |
3 – Espérance d'une variable aléatoire
Définition 3 : On appelle espérance de la variable aléatoire \(X\) le nombre, noté \(E(X)\), donné par :
\[E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i\]
Remarque : L'espérance \(E(X)\) peut s'interpréter comme la valeur moyenne prise par la variable \(X\) lorsque l'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire.
Exemple 5 :
(Suite de l'exemple 1) Calculer l'espérance de la variable \(X\) et interpréter le résultat.
\(E(X) = (-1) \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5\)\(= -0{,}5 + 0{,}5 = 0\) Cela signifie qu'en moyenne le joueur ne gagnera ni ne perdra d'argent. On dit que le jeu est équitable.
Exemple 6 :
(Suite de l'exemple 2) Calculer l'espérance de la variable \(X\) et interpréter le résultat.
\(E(X) = (-2) \times \dfrac{4}{6} + 1 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6}\)\(= -\dfrac{1}{6} \approx -0{,}16\) Cela signifie, qu'en moyenne le joueur perdra \(0{,}16€\) par partie.
Remarque : Dans la majorité des jeux de hasard (la roulette, le loto, les tickets à gratter, etc) l'espérance du joueur est négatif : Ce que l'on perd en moyenne correspond à ce que gagne l'organisateur du jeu.
