1 – Loi de Bernoulli
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\).
Définition 1 : On dit qu'une variable aléatoire \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\) si elle vaut \(1\) en cas de succès et \(0\) en cas d'échec à l'épreuve précédente.
● Notation : On note alors \(X \sim b(p)\)
● Loi de probabilité : La loi de Bernoulli de paramètre \(p\) est donc donnée par le tableau suivant :
● Espérance : \(E(X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p\)
● Notation : On note alors \(X \sim b(p)\)
● Loi de probabilité : La loi de Bernoulli de paramètre \(p\) est donc donnée par le tableau suivant :
| Valeurs | \(0\) | \(1\) | Total |
| Probabilités | \(1 - p\) | \(p\) | \(1\) |
Exemple 1 :
On lance un dé bien équilibré. Soit \(X\) la variable aléatoire qui vaut \(1\) lorsque le dé tombe sur la face « \(6\) » et qui vaut \(0\) sinon.
● \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p = 1/6\)
● \(P(X = 1) = 1/6\) et \(P(X = 0) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\)
● \(E(X) = p = 1/6\)
2 – Simulation d'une variable de Bernoulli
● Il est possible de simuler informatiquement une variable de Bernoulli c'est-à-dire de créer avec l'ordinateur une variable aléatoire qui suivra la loi de Bernoulli.
● Pour cela on utilise un générateur de nombre aléatoire qui choisit aléatoirement et de manière uniforme un nombre entre \(0\) et \(1\) : Avec le tableur on utilise la fonction \(ALEA()\) et avec Python la fonction \(random()\).
● Pour créer une variable de Bernoulli \(X\) de paramètre \(p\) on utilise alors l'algorithme suivant :
« Si le nombre aléatoire est inférieur à \(p\) alors \(X\) vaut \(1\) sinon \(X\) vaut \(0\). »
. Avec le tableur, on peut entrer dans une cellule la formule suivante : \(= SI(ALEA() < p\;;\;1\;;\;0)\)
. Avec Python, on peut créer une fonction \(bernoulli(p)\) :
● Pour cela on utilise un générateur de nombre aléatoire qui choisit aléatoirement et de manière uniforme un nombre entre \(0\) et \(1\) : Avec le tableur on utilise la fonction \(ALEA()\) et avec Python la fonction \(random()\).
● Pour créer une variable de Bernoulli \(X\) de paramètre \(p\) on utilise alors l'algorithme suivant :
« Si le nombre aléatoire est inférieur à \(p\) alors \(X\) vaut \(1\) sinon \(X\) vaut \(0\). »
\(P(X = 1) = p\)
\(P(X = 0) = 1 - p\)
\(P(X = 0) = 1 - p\)
. Avec Python, on peut créer une fonction \(bernoulli(p)\) :
Exemple 2 :
Pour simuler le lancer d'un dé on peut utiliser les instructions précédentes avec \(p = 1/6\).
3 – Echantillon de \(n\) variables de Bernoulli
● Pour créer un échantillon de \(n\) variables de Bernoulli, il suffit de répéter \(n\) fois les instructions précédentes.
. Avec le tableur, on utilise le recopiage automatique pour remplir \(n\) cellules avec la formule précédente.
. Avec Python on utilise une boucle et on peut remplir une liste avec les différents résultats obtenus :
● On peut alors facilement compter le nombre de succès puis donner la fréquence de succès.
. Avec le tableur, on utilise la formule \(= SOMME(plage\ de\ cellule\ de\ l'échantillon)/n\)
. Avec Python, on utilise la fonction \(sum()\) pour une liste :
. Avec le tableur, on utilise le recopiage automatique pour remplir \(n\) cellules avec la formule précédente.
. Avec Python on utilise une boucle et on peut remplir une liste avec les différents résultats obtenus :
. Avec le tableur, on utilise la formule \(= SOMME(plage\ de\ cellule\ de\ l'échantillon)/n\)
. Avec Python, on utilise la fonction \(sum()\) pour une liste :
Exemple 3 :
Pour simuler \(100\) lancers d'un dé, on peut utiliser ces instructions avec \(n = 100\) et \(p = 1/6\). On obtient alors la fréquence de « \(6\) » sur les \(100\) lancers.
4 – Etude des échantillons
● Nous allons maintenant simuler \(N\) échantillons de taille \(n\) et observer les fréquences obtenues.
. Avec le tableur, on utilise le recopiage automatique pour obtenir les \(N\) échantillons ainsi que la fréquence de succès dans chacun d'entre eux.
. Avec Python, on crée une nouvelle liste de taille \(N\) qui va simuler les \(N\) échantillons et stocker au fur et à mesure les différentes fréquences obtenues :
● On observe le phénomène de fluctuation d'échantillonnage : La fréquence de succès varie autour de la probabilité théorique \(p\). Plus la taille \(n\) des échantillons est grande, moins les fluctuations sont importantes.
. Avec le tableur, on utilise le recopiage automatique pour obtenir les \(N\) échantillons ainsi que la fréquence de succès dans chacun d'entre eux.
. Avec Python, on crée une nouvelle liste de taille \(N\) qui va simuler les \(N\) échantillons et stocker au fur et à mesure les différentes fréquences obtenues :
Exemple 4 :
Fréquences obtenues avec l'instruction précédente pour \(N = 1000\) et \(p = 1/6\)
● Avec \(n = 20\)
● Avec \(n = 100\)
● Avec \(n = 500\)
Propriété 1 : Soit \(p\) la probabilité théorique, \(n\) la taille des échantillons et \(s = \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\) alors :
● En moyenne, environ \(68\%\) des fréquences sont dans l'intervalle \([p - s\;;\;p + s]\)
● En moyenne, environ \(95\%\) des fréquences sont dans l'intervalle \([p - 2s\;;\;p + 2s]\)
● En moyenne, environ \(99\%\) des fréquences sont dans l'intervalle \([p - 3s\;;\;p + 3s]\)
Remarque : Le nombre \(s\) coïncide environ à l'écart-type observé dans la série des fréquences obtenues.
● En moyenne, environ \(68\%\) des fréquences sont dans l'intervalle \([p - s\;;\;p + s]\)
● En moyenne, environ \(95\%\) des fréquences sont dans l'intervalle \([p - 2s\;;\;p + 2s]\)
● En moyenne, environ \(99\%\) des fréquences sont dans l'intervalle \([p - 3s\;;\;p + 3s]\)
Exemple 5 :
Avec \(p = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17\), pour \(n = 100\) on a \(s = \dfrac{1}{2\sqrt{100}} = 0{,}05\)
● Environ \(68\%\) des fréquences sont dans l'intervalle \([0{,}12\;;\;0{,}22]\)
● Environ \(95\%\) des fréquences sont dans l'intervalle \([0{,}07\;;\;0{,}27]\)
● Environ \(99\%\) des fréquences sont dans l'intervalle \([0{,}02\;;\;0{,}32]\)
