Fiche n°5 — Boucle conditionnelle

Variables : \(x\), \(c\)
\(x \leftarrow 1\)
\(c \leftarrow 0\)
Tant que \(x > 0{,}1\)
 \(x \leftarrow \dfrac{x}{2}\)
 \(c \leftarrow c + 1\)
Fin Tant que
Afficher \(c\)

1. Exécuter cet algorithme.

2. Quel est le rôle de la variable \(c\) ?

Une ville compte aujourd'hui \(11\ 523\) habitants. La mairie estime que dans les prochaines années la population va perdre \(3\%\) par an et considère qu'en dessous de \(10\ 000\) habitants la dynamique de population de la ville sera inversée. On considère l'algorithme suivant :

Variables : \(Nb\_Hab\), \(N\)
\(Nb\_Hab \leftarrow 11523\)
\(N \leftarrow 0\)
Tant que \(Nb\_Hab > 10000\)
 \(Nb\_Hab \leftarrow 0{,}97 \times Nb\_Hab\)
 \(N \leftarrow N + 1\)
Fin Tant que
Afficher \(N\)

1. Que permet de faire cet algorithme ?

2. En quelle année la population de cette ville sera-t-elle à nouveau en augmentation ?

Pierre place la somme de \(100\ 000\) € sur un compte rémunéré à \(5\%\) par an. Chaque année, les intérêts s'ajoutent à son capital. Ecrire un algorithme qui permet de déterminer au bout de combien d'années il aura doublé son capital.

Ecrire un algorithme qui propose à l'utilisateur de deviner un nombre entre \(1\) et \(100\) choisi aléatoirement par la machine*. L'algorithme demande à l'utilisateur de rentrer un nombre et tant qu'il n'a pas trouvé, il lui donne une indication « Plus grand » ou « Plus petit » pour l'aider à trouver. Lorsque le joueur a deviné le nombre, on affichera un message de félicitations ainsi que le nombre de coups qui a été nécessaire.

*Pour choisir un nombre au hasard, on pourra utiliser l'instruction \(Entier\_aleatoire(1,100)\).

Le \(PGCD\) de deux nombres entiers \(a\) et \(b\) est le plus grand nombre qui divise à la fois \(a\) et \(b\). Par exemple, on a \(PGCD(42 ; 30) = 6\) car \(30 = \mathbf{2 \times 3} \times 5\) et \(42 = \mathbf{2 \times 3} \times 7\). L'algorithme d'Euclide permet de trouver le PGCD de deux entiers en effectuant des divisions euclidiennes successives :

Variables : \(a\), \(b\), \(r\)
Saisir \(a\)
Saisir \(b\)
Tant que \(r \neq 0\)
 \(r \leftarrow reste(a,b)\)
 \(a \leftarrow b\)
 \(b \leftarrow r\)
Fin Tant que
Afficher \(a\)

*L'instruction \(reste(a,b)\) renvoie le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).*

Exécuter cet algorithme pour trouver le PGCD des nombres \(391\) et \(221\).

L'algorithme de Syracuse consiste à appliquer le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre entier
• S'il est pair alors on le divise par 2
• S'il est impair on le multiplie par 3 et on ajoute 1.

1. a. Appliquer ce programme de calcul avec les nombres \(5\), \(10\) et \(21\).
 b. Que remarque-t-on ?

2. La conjecture de Syracuse (non démontrée à ce jour) énonce que l'on obtient toujours \(1\) au bout d'un certain nombre d'opérations et la séquence \(4, 2, 1\) se répète alors indéfiniment.

On appelle temps de vol le nombre d'étapes nécessaire avant l'obtention du chiffre 1.

 a. Quel est le temps de vol de \(5\), \(10\) et \(21\) ?

 b. Ecrire un algorithme qui demande à l'utilisateur de saisir un nombre \(n\), et affiche les différents termes de la suite de Syracuse jusqu'à ce que l'on obtienne \(1\).

 c. Compléter cet algorithme afin que celui-ci affiche aussi le temps de vol du nombre saisi en entrée.

*Pour tester si un nombre est pair ou impair on pourra utiliser l'instruction \(reste(n,2)\) qui renvoie le reste de la division euclidienne de \(n\) par \(2\).*

Variables : \(N\), \(x\)
\(N \leftarrow 1\)
\(x \leftarrow 1\)
Tant que \(x > 0\)
 \(N \leftarrow N + 1\)
 \(x \leftarrow \dfrac{1}{N}\)
Fin Tant que

Que se passe-t-il lorsque l'on exécute cet algorithme ?