Pourcentage d'évolution global
Exercice 1 : Évolutions successives
Dans chacun des cas suivants, déterminer le pourcentage d'évolution global :
- Le prix d'un article augmente de 5% puis de 10%.
- La population d'une ville diminue de 20% puis de 30%.
- La valeur d'une action chute de 1,97% puis augmente de 0,44%.
- Une masse augmente de 30% puis perd 30%.
Correction — Exercice 1
1) \(c = \left( 1 + \dfrac{5}{100} \right)\left( 1 + \dfrac{10}{100} \right) = 1{,}05 \times 1{,}10 = 1{,}155\)\(a\% = 1{,}155 \times 100 - 100 = +15{,}5\,\%\)
2) \(c = \left( 1 - \dfrac{20}{100} \right)\left( 1 - \dfrac{30}{100} \right) = 0{,}8 \times 0{,}7 = 0{,}56\)
\(a\% = 0{,}56 \times 100 - 100 = -44\,\%\)
3) \(c = \left( 1 - \dfrac{1{,}97}{100} \right)\left( 1 + \dfrac{0{,}44}{100} \right)\)
\(= 0{,}9803 \times 1{,}0044 = 0{,}9846\)
\(a\% = 0{,}9846 \times 100 - 100 = -1{,}54\,\%\)
4) \(c = \left( 1 + \dfrac{30}{100} \right)\left( 1 - \dfrac{30}{100} \right) = 1{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}91\)
\(a\% = 0{,}91 \times 100 - 100 = -9\,\%\)
Exercice 2 : Boutique malhonnête
Une boutique pas très honnête décide, avant les soldes, d'augmenter le prix d'un article de 20 % puis d'afficher sur l'étiquette du produit : « Soldé 30 % ». Quel est le véritable pourcentage de remise ?
Correction — Exercice 2
\(c = \left( 1 + \dfrac{20}{100} \right)\left( 1 - \dfrac{30}{100} \right) = 1{,}20 \times 0{,}7 = 0{,}84\)\(a\% = 0{,}84 \times 100 - 100 = -16\,\%\)
Le véritable pourcentage de remise est de \(16\,\%\).
Exercice 3 : Population mondiale
En 2005, la population mondiale était de 6 519 636 000 habitants. Elle a augmenté successivement de 6,29 % entre 2005 et 2010 puis de 6,06 % entre 2010 et 2015.
- Déterminer la population mondiale en 2015.
- Exprimer en pourcentage l'évolution de la population mondiale entre 2005 et 2015.
Correction — Exercice 3
On a \(Q_{0} = 6\,519\,636\,000\), \(a_{1}\% = +6{,}29\,\%\) et \(a_{2}\% = +6{,}06\,\%\).1) \(Q_{2} = \left( 1 + \dfrac{6{,}29}{100} \right)\left( 1 + \dfrac{6{,}06}{100} \right)\)
\(\times\, 6\,519\,636\,000\)
\(= 1{,}0629 \times 1{,}0606 \times 6\,519\,636\,000\)
\(= 7\,349\,662\,203\) habitants.
2) \(c = 1{,}0629 \times 1{,}0606 = 1{,}1273\)
\(a\% = 1{,}1273 \times 100 - 100 = +12{,}73\,\%\)
Exercice 4 : Prof de chimie
Un prof de chimie annonce à ses élèves : « J'ajoute 2 % du volume de la solution en eau ! »Après avoir effectué l'opération il s'écrie : « Zut ! Je me suis trompé : c'était en fait 5 % ! »
Quel pourcentage de la solution actuelle doit-il rajouter en eau pour rattraper son erreur et éviter une explosion du lycée ?
Correction — Exercice 4
Le problème peut être représenté de la façon suivante : \(2\,\% + ?\,\% = 5\,\%\). La réponse n'est évidemment pas \(3\,\%\) car on a vu que les additions ne fonctionnent pas avec les pourcentages d'évolution. On doit passer aux coefficients multiplicateurs :\(1{,}02 \times c = 1{,}05\)
D'où \(c = \dfrac{1{,}05}{1{,}02} \approx 1{,}0294\).
Cela correspond à une évolution de \(+2{,}94\,\%\).
Exercice 5 : Paquet de riz
Dans un supermarché, le prix d'un paquet de riz a subi une augmentation de 2 %, puis de 1,5 %. Sachant que le paquet de riz coûte actuellement 1,35€, déterminer son coût avant les 2 augmentations.
Correction — Exercice 5
On cherche ici \(Q_{0}\) et on connaît \(Q_{2} = 1{,}35\).On sait que \(\left( 1 + \dfrac{2}{100} \right)\left( 1 + \dfrac{1{,}5}{100} \right)\)
\(\times\, Q_{0} = 1{,}35\)
C'est-à-dire que \(1{,}02 \times 1{,}015 \times Q_{0} = 1{,}35\).
Donc on obtient \(Q_{0} = \dfrac{1{,}35}{1{,}02 \times 1{,}015} \approx 1{,}30\)
Donc le prix du sachet de riz valait \(1{,}30\) €.
Exercice 6 : CAC 40
Le tableau suivant représente l'évolution du CAC 40 sur 5 jours :
| Date | 05/09/16 | 06/09/16 | 07/09/16 | 08/09/16 | 09/09/16 |
| Variation | -0,02% | -0,24% | +0,61% | -0,34% | -1,12% |
- Calculer le taux d'évolution global sur ces 5 jours.
- Sachant que le cours du CAC 40 avant l'ouverture du 05/09 était de 4542 points, calculer le cours du CAC 40 après sa clôture le 09/09.
Correction — Exercice 6
1) \(c = \left( 1 - \dfrac{0{,}02}{100} \right)\left( 1 - \dfrac{0{,}24}{100} \right)\left( 1 + \dfrac{0{,}61}{100} \right)\)\(\left( 1 - \dfrac{0{,}34}{100} \right)\left( 1 - \dfrac{1{,}12}{100} \right)\)
\(= 0{,}9998 \times 0{,}9976 \times 1{,}0061\)
\(\times\, 0{,}9966 \times 0{,}9888\)
\(\approx 0{,}9889\)
\(a\% = 0{,}9889 \times 100 - 100 = -1{,}11\,\%\)
2) \(V_{\text{Arrivée}} = 0{,}9889 \times 4542 = 4491\) points.
Pourcentage d'évolution réciproque
Exercice 7 : Pourcentage réciproque
Dans chacun des cas suivants, déterminer le pourcentage réciproque des évolutions suivantes :
- Une augmentation de 20 %
- Une diminution de 15 %
- Une évolution de \(-3{,}5\,\%\)
- Une évolution de \(+9{,}82\,\%\)
Correction — Exercice 7
1) \(c = \left( 1 + \dfrac{20}{100} \right) = 1{,}2\) ; \(c' = \dfrac{1}{1{,}2} = 0{,}8333\)\(a\% = 0{,}8333 \times 100 - 100 = -16{,}67\,\%\)
2) \(c = \left( 1 - \dfrac{15}{100} \right) = 0{,}85\) ; \(c' = \dfrac{1}{0{,}85} = 1{,}1764\)
\(a\% = 1{,}1764 \times 100 - 100 = +17{,}64\,\%\)
3) \(c = \left( 1 - \dfrac{3{,}5}{100} \right) = 0{,}975\) ; \(c' = \dfrac{1}{0{,}975} = 1{,}0256\)
\(a\% = 1{,}0256 \times 100 - 100 = +2{,}56\,\%\)
4) \(c = \left( 1 + \dfrac{9{,}82}{100} \right) = 1{,}0982\) ; \(c' = \dfrac{1}{1{,}0982} = 0{,}9105\)
\(a\% = 0{,}9105 \times 100 - 100 = -8{,}95\,\%\)
Exercice 8 : Action en bourse
Une action chute de 2,45 %. Exprimer en pourcentage la hausse que doit subir l'action pour retrouver son niveau initial.
Correction — Exercice 8
\(c = \left( 1 - \dfrac{2{,}45}{100} \right) = 0{,}9755\) ; \(c' = \dfrac{1}{0{,}9755} = 1{,}0251\)\(a\% = 1{,}0251 \times 100 - 100 = +2{,}51\,\%\)
L'action devra augmenter de \(2{,}51\,\%\).
Exercice 9 : Poids après les fêtes
Après les fêtes de Noël et ses copieux festins, Jean a pris 5 % de son poids. Exprimer en pourcentage la chute que doit subir son poids pour retrouver son poids initial.
Correction — Exercice 9
On doit contrer une évolution de \(+5\,\%\).Donc \(c = \left( 1 + \dfrac{5}{100} \right) = 1{,}05\) ; \(c' = \dfrac{1}{1{,}05} = 0{,}9523\)
\(a\% = 0{,}9523 \times 100 - 100 = -4{,}77\,\%\).
Il devra perdre \(4{,}77\,\%\) de son poids actuel.
Exercice 10 : Effectifs d'entreprise
En 2007, une entreprise augmente deux fois successivement ses effectifs de 5 %. L'année suivante, la crise oblige le patron de l'entreprise à revenir aux effectifs de départ. Choisissez la bonne réponse :
- L'effectif doit diminuer de moins de 10 %.
- L'effectif doit diminuer de 10 %.
- L'effectif doit diminuer de plus de 10 %.
Correction — Exercice 10
\(c = 1{,}05 \times 1{,}05 = 1{,}05^{2} = 1{,}1025\)Donc l'effectif augmente de \(+10{,}25\,\%\).
Mais \(c' = \dfrac{1}{1{,}1025} = 0{,}9070\) ce qui correspond à une baisse de \(9{,}30\,\%\).
Donc la bonne réponse est a. L'effectif doit diminuer de moins de 10 %.
Exercice 11 : Réseaux sociaux
Facebook et Twitter ont récemment réalisé leur introduction en bourse (respectivement le 18 mai 2012 et le 7 novembre 2013). Mais celle-ci s'est passée différemment pour ces deux géants du Web. En effectuant les calculs nécessaires, compléter les deux textes suivants :
- « Le cours d'introduction de l'action Facebook a été fixé à 38,22 dollars. Deux mois plus tard, l'action subissait une décote de 39%, et se négociait au prix de …… $. Le 31 Juillet 2013, le cours de l'action Facebook remontait enfin à son cours d'introduction, subissant une hausse de …… % par rapport à l'année précédente. »
- « L'action "TWTR" a clôturé sa première séance à 44,90 dollars, soit un bond de 72,69% par rapport au prix d'introduction fixé la veille à …… $. Cependant certains économistes jugent qu'à long terme l'action pourrait revenir à son niveau initial en subissant une baisse de …… %. »
Correction — Exercice 11
1) \(\left( 1 - \dfrac{39}{100} \right) \times 38{,}22 = 0{,}61 \times 38{,}22 \approx 23{,}31\,\$\)\(\dfrac{1}{0{,}61} \approx 1{,}64\). Donc hausse de \(64\,\%\).
2) On cherche ici \(Q_{0}\) et on connaît \(Q_{2} = 44{,}90\).
\(\left( 1 + \dfrac{72{,}69}{100} \right) \times Q_{0} = 44{,}90\)
D'où \(1{,}7269 \times Q_{0} = 44{,}90\)
D'où \(Q_{0} = \dfrac{44{,}90}{1{,}7269} = 26{,}00\,\$\)
\(c' = \dfrac{1}{1{,}7269} \approx 0{,}5791\) ce qui correspond à une baisse de \(42{,}09\,\%\).
