1 – Evolutions successives
Propriété 1 :
Si une quantité \(Q_0\) subit une évolution de \(a_1\,\%\) vers une quantité \(Q_1\), puis une évolution de \(a_2\,\%\) vers une quantité \(Q_2\), alors :
Si une quantité \(Q_0\) subit une évolution de \(a_1\,\%\) vers une quantité \(Q_1\), puis une évolution de \(a_2\,\%\) vers une quantité \(Q_2\), alors :
- \(Q_2 = \left(1 + \dfrac{a_1}{100}\right) \times \left(1 + \dfrac{a_2}{100}\right) \times Q_0\)
- Le pourcentage d'évolution global \(a\,\%\) est tel que :
\(\displaystyle\underbrace{\left(1 + \frac{a}{100}\right)}_{c}\)
\(\displaystyle= \underbrace{\left(1 + \frac{a_1}{100}\right)}_{c_1} \times \underbrace{\left(1 + \frac{a_2}{100}\right)}_{c_2}\)
Schéma des évolutions successives
Exemple 1 :
Un voyagiste vend un séjour en Chine au prix de \(2000\) €. Il décide d'augmenter de \(10\,\%\) puis de \(20\,\%\) le prix du séjour.
- Quel sera le prix du séjour après ces deux augmentations ?
\(Q_2 = \left(1 + \dfrac{10}{100}\right) \times \left(1 + \dfrac{20}{100}\right) \times 2000\)
\(= 1{,}1 \times 1{,}2 \times 2000 = 2640\)
Le prix du séjour sera de \(2640\) €. - Quel est le pourcentage d'augmentation global ?
\(c = 1{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}32 = 1 + \dfrac{32}{100}\) donc \(a\,\% = 32\,\%\)
Le pourcentage d'évolution global est donc de \(32\,\%\).
2 – Evolution réciproque
Propriété 2 :
Si une quantité \(Q_0\) subit une évolution de \(a\,\%\) vers une quantité \(Q_1\), alors le pourcentage d'évolution réciproque \(a'\,\%\) pour revenir de \(Q_1\) à \(Q_0\) est tel que : \[\underbrace{\left(1 + \frac{a'}{100}\right)}_{c'} = \underbrace{\frac{1}{\left(1 + \frac{a}{100}\right)}}_{\frac{1}{c}}\]
Si une quantité \(Q_0\) subit une évolution de \(a\,\%\) vers une quantité \(Q_1\), alors le pourcentage d'évolution réciproque \(a'\,\%\) pour revenir de \(Q_1\) à \(Q_0\) est tel que : \[\underbrace{\left(1 + \frac{a'}{100}\right)}_{c'} = \underbrace{\frac{1}{\left(1 + \frac{a}{100}\right)}}_{\frac{1}{c}}\]
Schéma de l'évolution réciproque
Exemple 2 :
Le Jeudi 23 Mai 2013, la Bourse de Tokyo termine en très forte baisse de \(7{,}32\,\%\).
- Quelle augmentation doit subir la Bourse de Tokyo pour effacer les pertes de ce Jeudi noir ?
\(c = 1 - \dfrac{7{,}32}{100} = 0{,}9268\)
\(c' = \dfrac{1}{0{,}9268} \approx 1{,}0789 = 1 + \dfrac{7{,}89}{100}\) donc \(a'\,\% \approx 7{,}89\,\%\)
La Bourse de Tokyo doit augmenter de \(7{,}89\,\%\) pour effacer ses pertes. - L'indice Nikkei 225 a clôturé la séance à \(14\,484\) points. Combien valait l'indice avant le plongeon ?
On applique le pourcentage d'évolution réciproque à la valeur de l'indice :
\(Q_0 = 1{,}0789 \times 14\,484 \approx 15\,627\)
L'indice valait environ \(15\,627\) pts avant le plongeon.
