1 – Evolution exprimée en pourcentage
Définition 1 :
- Augmenter une quantité de \(a\,\%\), c'est lui ajouter \(a\,\%\) de sa valeur.
- Diminuer une quantité de \(a\,\%\), c'est lui retirer \(a\,\%\) de sa valeur.
Exemple 1 :
- Un article valant \(80\) € augmente de \(50\,\%\). Il vaut \(80 + 0{,}5 \times 80 = 80 + 40 = 120\) €.
- Un article valant \(200\) € baisse de \(25\,\%\). Il vaut \(200 - 0{,}25 \times 200 = 200 - 50 = 150\) €.
Propriété 1 :
Lorsqu'une quantité \(Q_0\) subit une évolution de \(a\,\%\), on obtient une quantité \(Q_1\) qui vaut : \[Q_1 = \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times Q_0\]
Lorsqu'une quantité \(Q_0\) subit une évolution de \(a\,\%\), on obtient une quantité \(Q_1\) qui vaut : \[Q_1 = \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times Q_0\]
Schéma d'une évolution de \(a\,\%\)
Remarque : \(Q_0\) est la valeur de départ (parfois notée \(V_D\)) et \(Q_1\) est la valeur d'arrivée (parfois notée \(V_A\)).
Exemple 2 :
Un salarié gagnant \(1500\) € par mois est augmenté de \(5\,\%\). Quel est son nouveau salaire ?\(Q_0 = 1500\) €, \(a\,\% = 5\,\%\)
\(Q_1 = \left(1 + \dfrac{5}{100}\right) \times 1500 = 1{,}05 \times 1500 = 1575\)
Son nouveau salaire est de \(1575\) €.
Exemple 3 :
Un article qui coûtait \(120\) € est soldé \(30\,\%\). Quel est son nouveau prix ?\(Q_0 = 120\) €, \(a\,\% = -30\,\%\)
\(Q_1 = \left(1 - \dfrac{30}{100}\right) \times 120 = 0{,}7 \times 120 = 84\)
Le nouveau prix est de \(84\) €.
Remarques :
- Le nombre \(c = \left(1 + \dfrac{a}{100}\right)\) s'appelle le coefficient multiplicateur.
- À partir du coefficient multiplicateur, on peut retrouver le pourcentage d'évolution : \(a\,\% = (c - 1) \times 100\).
Exemple 4 :
Correspondance entre pourcentage d'évolution et coefficient multiplicateur :
| Evolution en % | Coeff. multiplicateur | Evolution en % | Coeff. multiplicateur |
| \(+ 7\,\%\) | \(\times 1{,}07\) | \(+ 2{,}5\,\%\) | \(\times 1{,}025\) |
| \(+ 20\,\%\) | \(\times 1{,}20\) | \(- 5{,}3\,\%\) | \(\times 0{,}947\) |
| \(- 2\,\%\) | \(\times 0{,}98\) | \(+ 0{,}5\,\%\) | \(\times 1{,}005\) |
| \(- 50\,\%\) | \(\times 0{,}5\) | \(- 0{,}1\,\%\) | \(\times 0{,}999\) |
| \(+ 100\,\%\) | \(\times 2\) | \(+ 9{,}58\,\%\) | \(\times 1{,}0958\) |
| \(+ 200\,\%\) | \(\times 3\) | \(- 2{,}36\,\%\) | \(\times 0{,}9764\) |
2 – Variation absolue et relative d'une quantité
Propriété 2 :
On considère une quantité qui évolue d'une valeur initiale \(Q_0\) à une valeur finale \(Q_1\).
On considère une quantité qui évolue d'une valeur initiale \(Q_0\) à une valeur finale \(Q_1\).
- La variation absolue de \(Q_0\) à \(Q_1\) est le nombre \(Q_1 - Q_0 = V_A - V_D\).
- La variation relative de \(Q_0\) à \(Q_1\) est le nombre \(\dfrac{Q_1 - Q_0}{Q_0} = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}\).
Remarques :
- La variation absolue possède la même unité que la quantité étudiée.
- Le rapport \(t = \dfrac{Q_1 - Q_0}{Q_0}\) est également appelé le taux d'évolution de \(Q_0\) à \(Q_1\).
- Si \(t > 0\), il s'agit d'une augmentation ; si \(t < 0\), il s'agit d'une diminution.
- Pour obtenir le pourcentage d'évolution entre \(Q_0\) et \(Q_1\), on multiplie le taux d'évolution par \(100\) : \[a\,\% = \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0} \times 100\]
Exemple 5 :
La population de La Rochelle est passée de \(71\,094\) à \(76\,584\) habitants entre 1990 et 1999.On a \(Q_0 = 71\,094\) et \(Q_1 = 76\,584\).
Variation absolue : \(Q_1 - Q_0 = 76\,584 - 71\,094 = 5\,490\)
La population rochelaise a augmenté de \(5\,490\) habitants entre 1990 et 1999.
Variation relative : \(\dfrac{Q_1 - Q_0}{Q_0} = \dfrac{76\,584 - 71\,094}{71\,094} \approx 0{,}0772\) donc \(a\,\% \approx 7{,}72\,\%\)
La population rochelaise a augmenté de \(7{,}72\,\%\) de 1990 à 1999.
