1 – Population et sous-population
Définition 1 :
- On appelle population un ensemble \(E\) d'éléments appelés individus.
- On appelle sous-population toute partie \(A\) de cette population.
Population \(E\) et sous-population \(A\)
Remarques :
- Les individus d'une population peuvent être des personnes mais aussi des objets.
- On dit que la sous-population \(A\) est incluse dans la population \(E\) et on note \(A \subset E\).
Exemple 1 :
- Les élèves du lycée forment une population. Un individu est un élève. L'ensemble des élèves de Seconde forment une sous-population de cette population.
- Un stock de pièces mécaniques constitue une population. Un individu est une pièce. L'ensemble des pièces défectueuses est une sous-population de cette population.
2 – Proportion d'une sous-population
Définition 2 :
On considère une population qui possède \(N\) individus et une sous-population qui possède \(n\) individus. La proportion \(p\) d'individus de la sous-population est le nombre : \[p = \frac{n}{N} = \frac{\text{partie}}{\text{tout}}\]
On considère une population qui possède \(N\) individus et une sous-population qui possède \(n\) individus. La proportion \(p\) d'individus de la sous-population est le nombre : \[p = \frac{n}{N} = \frac{\text{partie}}{\text{tout}}\]
Remarques :
- Une proportion est un nombre compris entre \(0\) et \(1\).
- \(n\) est appelé l'effectif de la sous-population et \(N\) est appelé l'effectif total.
Exemple 2 :
Dans une classe de \(35\) élèves il y a \(14\) filles. Quelle est la proportion de filles dans la classe ?\(N = 35\), \(n = 14\) donc \(p = \dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
Remarque : Une proportion peut s'écrire sous forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage. Voici les proportions à connaître :
- \(0 = 0\,\%\)
- \(1 = 100\,\%\)
- \(0{,}5 = 50\,\% = \frac{1}{2}\)
- \(0{,}25 = 25\,\% = \frac{1}{4}\)
- \(0{,}75 = 75\,\% = \frac{3}{4}\)
- \(0{,}333\ldots = 33{,}33\ldots\,\% = \frac{1}{3}\)
- \(0{,}666\ldots = 66{,}66\ldots\,\% = \frac{2}{3}\)
- \(0{,}2 = 20\,\% = \frac{1}{5}\)
- \(0{,}1666\ldots = 16{,}66\ldots\,\% = \frac{1}{6}\)
- \(0{,}125 = 12{,}5\,\% = \frac{1}{8}\)
- \(0{,}1 = 10\,\% = \frac{1}{10}\)
- \(0{,}01 = 1\,\% = \frac{1}{100}\)
- \(0{,}001 = 0{,}1\,\% = 1\,\text{‰} = \frac{1}{1000}\)
- \(0{,}0001 = 0{,}01\,\% = \frac{1}{10\,000}\)
Remarque : La relation \(p = \dfrac{n}{N}\) permet, connaissant deux des trois nombres, de trouver le troisième.
Exemple 3 :
En juillet 2013, la France compte 3,28 millions de chômeurs, pour une population active de 32 millions de personnes. Calculer le taux de chômage correspondant.\(N = 32\) millions, \(n = 3{,}28\) millions donc \(p = \dfrac{n}{N} = \dfrac{3{,}28}{32} = 0{,}1025\)
Le taux de chômage est donc de \(10{,}25\,\%\).
Exemple 4 :
Dans un lycée de 1100 élèves, le taux de réussite au bac est de 89%. Combien d'élèves ont obtenu leur diplôme ?\(N = 1100\), \(p = 0{,}89\) donc \(n = p \times N = 0{,}89 \times 1100 = 979\)
\(979\) élèves ont obtenu leur diplôme.
Exemple 5 :
Lors des dernières élections présidentielles (2012, 2ème tour), 9 millions d'électeurs se sont abstenus, soit environ 20 % des inscrits. Combien de personnes étaient inscrites sur les listes électorales ?\(n = 9\) millions, \(p = 0{,}2\) donc \(N = \dfrac{n}{p} = \dfrac{9\,000\,000}{0{,}2} = 45\,000\,000\)
\(45\,000\,000\) personnes étaient inscrites sur les listes électorales.
3 – Pourcentage de pourcentage
Question :
Lors d'un anniversaire, un invité demande le quart de la moitié du gâteau. Quelle proportion du gâteau entier aura-t-il ?
Il aura \(\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}\) du gâteau entier.
Il aura \(\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}\) du gâteau entier.
Propriété 1 :
On considère une population \(E\).
Soient \(B\) une sous-population de \(E\) et \(A\) une sous-population de \(B\).
On note \(p'\) la proportion de \(B\) dans \(E\) et \(p''\) la proportion de \(A\) dans \(B\).
La proportion \(p\) de \(A\) dans \(E\) est égale au produit de ces deux proportions : \[p = p' \times p''\]
On considère une population \(E\).
Soient \(B\) une sous-population de \(E\) et \(A\) une sous-population de \(B\).
On note \(p'\) la proportion de \(B\) dans \(E\) et \(p''\) la proportion de \(A\) dans \(B\).
La proportion \(p\) de \(A\) dans \(E\) est égale au produit de ces deux proportions : \[p = p' \times p''\]
Sous-populations emboîtées : \(A \subset B \subset E\)
Exemple 6 :
En 2011, les baccalauréats technologiques représentent \(24\,\%\) des baccalauréats (hors baccalauréats professionnels) et la section STMG représente \(38\,\%\) des baccalauréats technologiques. Quel pourcentage de l'ensemble des baccalauréats représente la section STMG ?On a \(\text{STMG} \subset \text{Bacs technologiques} \subset \text{Baccalauréats}\)
\(p' = 0{,}24\) et \(p'' = 0{,}38\) donc \(p = 0{,}24 \times 0{,}38 = 0{,}0912\)
La section STMG représente \(9{,}12\,\%\) de tous les baccalauréats.
