Exercice 1 : Distributeur
Dans une salle d'attente, deux distributeurs de boissons sont installés. On considère les évènements :\(A\) : « Le premier distributeur fonctionne »
\(B\) : « Le deuxième distributeur fonctionne »
Il a été établi que : \(P(A) = 0{,}8\) et \(P(B) = 0{,}6\).
De plus on sait qu'il y a toujours un des deux distributeurs qui fonctionne.
- Utiliser les symboles \(A\), \(B\), \(\overline{\ \ }\), \(\cap\) et \(\cup\) pour décrire les évènements suivants :
\(E\) : « Les deux distributeurs fonctionnent »
\(F\) : « Au moins l'un des deux distributeurs fonctionne »
\(G\) : « Aucun des deux distributeurs ne fonctionne » - Calculer la probabilité de \(E\), \(F\) et \(G\).
Correction — Exercice 1
1. \(E = A \cap B\) ; \(F = A \cup B\) ; \(G = \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\).2. \(A \cup B\) est un évènement certain car on sait qu'au moins un des 2 distributeurs fonctionne.
On a donc \(P(F) = 1\) et \(P(G) = 0\).
De plus, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
\(1 = 0{,}8 + 0{,}6 - P(A \cap B)\)
\(P(A \cap B) = 1{,}4 - 1 = 0{,}4\)
Exercice 2 : Deux billes
Le plateau ci-dessous contient cent cases vides numérotées de 1 à 100.
Déterminer la probabilité des évènements suivants :
\(A\) : « \(r = 100\) » \(B\) : « \(r = b\) »
\(C\) : « \(r + b = 100\) » \(D\) : « \(r \times b = 100\) »
Correction — Exercice 2
\(P(A) = \dfrac{1}{100}\)\(P(B) = \dfrac{100}{10\,000} = \dfrac{1}{100}\)
(Il y a \(100 \times 100 = 10\,000\) possibilités.)
\(C = \{r = 1 \text{ et } b = 99\,;\, r = 2 \text{ et } b = 98\,;\, \ldots\,;\, r = 99 \text{ et } b = 1\}\)
donc \(P(C) = \dfrac{99}{10\,000}\)
\(D = \{r = 1 \text{ et } b = 100\,;\, r = 2 \text{ et } b = 50\,;\, r = 4 \text{ et } b = 25\,;\, r = 5 \text{ et } b = 20\,;\, r = 10 \text{ et } b = 10\,;\, r = 20 \text{ et } b = 5\,;\, r = 25 \text{ et } b = 4\,;\, r = 50 \text{ et } b = 2\,;\, r = 100 \text{ et } b = 1\}\)
donc \(P(D) = \dfrac{9}{10\,000}\)
Exercice 3 : Au moins une fille
Un couple souhaite avoir des enfants. On considère que la probabilité d'avoir une fille et celle d'avoir un garçon sont égales. Combien doivent-ils avoir d'enfants pour avoir au moins \(99\,\%\) de chance d'avoir au moins une fille ?
Correction — Exercice 3
\(P(\text{au moins 1 fille}) = 1 - P(\text{que des garçons})\)Il faut donc que \(P(\text{que des garçons}) \leqslant 0{,}01\).
\(P(\text{que des garçons}) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) On cherche donc le plus petit entier \(n\) tel que \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant 0{,}01\).
À la calculatrice, on trouve \(n = 7\).
Il faut donc qu'ils aient 7 enfants pour avoir au moins 99 % de chance d'avoir au moins une fille.
Exercice 4 : Problème du duc de Toscane
Variables : \(x\), \(S\)
\(S \leftarrow 0\)
Pour \(i\) allant de 1 à 3
\(x \leftarrow\) Entier aléatoire entre 1 et 6
\(S \leftarrow S + x\)
Fin Pour.
Afficher \(S\)
- Que représentent les variables \(x\) et \(S\) ?
- Quel est le nombre d'issues pour cette expérience aléatoire ?
- Déterminer la probabilité de l'évènement « \(S = 5\) ».
- Après 2000 exécutions de cet algorithme on trouve 210 fois la valeur 9 et 270 fois la valeur 10. Estimer les probabilités \(P(S = 9)\) et \(P(S = 10)\) puis interpréter ces résultats par rapport au problème du duc de Toscane.
- Trouver une explication à ce paradoxe.
Correction — Exercice 4
1. \(x\) représente le résultat d'un dé.\(S\) représente la somme obtenue avec 3 dés.
2. Il y a \(6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216\) possibilités.
3. Il y a 6 issues différentes :
\(1 + 1 + 3 = 5\) \(1 + 2 + 2 = 5\)
\(1 + 3 + 1 = 5\) \(2 + 1 + 2 = 5\)
\(3 + 1 + 1 = 5\) \(2 + 2 + 1 = 5\)
\(P(S = 5) = \dfrac{6}{216} = \dfrac{1}{36}\)
4. \(P(S = 9) = \dfrac{210}{2\,000} = 0{,}105\)
\(P(S = 10) = \dfrac{270}{2\,000} = 0{,}135\)
Le 10 semble donc plus fréquent que le 9.
5. Lorsqu'il y a 3 chiffres différents dans la somme, celle-ci compte en réalité 6 fois.
Exemple : \(1 + 2 + 6\), \(1 + 6 + 2\), \(2 + 1 + 6\), \(2 + 6 + 1\), \(6 + 1 + 2\), \(6 + 2 + 1\).
Lorsqu'il y a 2 chiffres différents dans la somme, celle-ci compte en réalité 3 fois.
Exemple : \(1 + 4 + 4\), \(4 + 1 + 4\), \(4 + 4 + 1\).
Lorsque tous les chiffres sont identiques dans la somme, celle-ci ne compte qu'une seule fois.
Exemple : \(3 + 3 + 3\).
\(\displaystyle P(S = 9) = \dfrac{6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1}{216}\)
\(= \dfrac{25}{216} \approx 0{,}116\)
\(\displaystyle P(S = 10) = \dfrac{6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3}{216}\)
\(= \dfrac{27}{216} \approx 0{,}125\)
Exercice 5 : Tiercé
Pour le tiercé, lors du grand prix de Diane, il y avait 12 pouliches au départ. Il n'y a pas eu d'ex æquo.Pour un joueur qui a misé sur trois numéros au hasard, quelle est la probabilité des évènements suivants ?
- Trouver les 3 premières pouliches dans l'ordre.
- Trouver les 3 premières pouliches dans le désordre.
Correction — Exercice 5
1. Il y a \(12 \times 11 \times 10 = 1320\) possibilités(1re : 12 ; 2e : 11 ; 3e : 10).
Donc \(\dfrac{1}{1320}\) de les trouver dans l'ordre.
2. Nous avons vu dans un exercice précédent qu'il y a 6 façons d'ordonner 3 numéros.
Donc il y a \(1320 \div 6 = 220\) possibilités.
Donc \(\dfrac{1}{220}\) de les trouver dans le désordre.
Exercice 6 : Loto
Au loto il faut obtenir cinq numéros parmi 49, dans n'importe quel ordre, plus un « numéro chance » parmi dix. Quelle est la probabilité de gagner ?
Correction — Exercice 6
Il y a : \(49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 10\) possibilités de trouver la combinaison dans l'ordre.Mais il y a \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\) façons d'ordonner les cinq premiers numéros.
Il y a donc \(\dfrac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 19\,068\,840\) possibilités.
Il y a donc \(\dfrac{1}{19\,068\,840}\) de gagner !
Exercice 7 : Poker Texas Hold'em
Au Poker Texas Hold'em, on commence par distribuer à chaque joueur une main de deux cartes. Quelle est la probabilité pour un joueur d'obtenir une paire d'As ?
Correction — Exercice 7
