Exercice 1 : Jeu de cartes – Évènement contraire
- On tire une carte au hasard d'un jeu de 32 cartes. Énoncer en français l'évènement contraire des évènements suivants :
\(A\) : « Obtenir un trèfle »
\(B\) : « Ne pas obtenir de Valet »
\(C\) : « Obtenir un Roi ou une Dame »
\(D\) : « Obtenir une figure et un trèfle » - On distribue une main de cinq cartes d'un jeu de 32 cartes. Énoncer en français l'évènement contraire des évènements suivants :
\(E\) : « Obtenir au moins un As »
\(F\) : « Toutes les cartes sont des cœurs »
\(G\) : « Aucune des cartes n'est une figure »
Correction — Exercice 1
1.\(\overline{A}\) : « Ne pas obtenir de trèfle ».
\(\overline{B}\) : « Obtenir un valet ».
\(\overline{C}\) : « Obtenir ni un Roi, ni une Dame ».
\(\overline{D}\) : « Ne pas obtenir de figure ou ne pas obtenir un trèfle ».
2.
\(\overline{E}\) : « Ne pas obtenir d'As ».
\(\overline{F}\) : « Au moins une carte n'est pas un cœur ».
\(\overline{G}\) : « Au moins une des cartes est une figure ».
Exercice 2 : Souris
Dans une population de souris, certaines peuvent présenter :
- Une maladie \(A\)
- Une maladie \(B\)
- Les deux maladies
- Aucune des maladies
- Traduisez à l'aide des symboles \(A\), \(B\), \(\overline{\ \ }\), \(\cap\) et \(\cup\) les ensembles suivants :
- Les souris présentant les deux maladies.
- Les souris ne présentant pas la maladie A.
- Les souris présentant au moins une des deux maladies.
- Les souris ne présentant aucune des deux maladies.
- Énoncer à l'aide d'une phrase les ensembles : \(A \cap \overline{B}\) ; \(\overline{A} \cap \overline{B}\) ; \(\overline{A} \cup B\).
Correction — Exercice 2
1.a. \(A \cap B\)
b. \(\overline{A}\)
c. \(A \cup B\)
d. \(\overline{A \cup B}\)
2.
\(A \cap \overline{B}\) : Ensemble des souris présentant la maladie A mais pas la maladie B.
\(\overline{A} \cap \overline{B}\) : Ensemble des souris ne présentant ni la maladie A ni la maladie B.
Remarque : \(\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}\) (c'est ce qu'on appelle la loi de Morgan).
\(\overline{A} \cup B\) : Ensemble des souris ne présentant pas la maladie A ou ayant la maladie B.
Exercice 3 : Formules
- On donne \(P(A) = 0{,}56\) ; \(P(B) = 0{,}39\) et \(P(A \cap B) = 0{,}21\). Calculer \(P(A \cup B)\).
- On donne \(P(A) = 0{,}4\) ; \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A \cup B) = 0{,}6\). Calculer \(P(A \cap B)\).
- On donne \(P(\overline{A}) = 0{,}7\) ; \(P(A \cap B) = 0{,}2\) et \(P(A \cup B) = 0{,}7\). Calculer \(P(\overline{B})\).
Correction — Exercice 3
1. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)\(= 0{,}56 + 0{,}39 - 0{,}21 = 0{,}74\)
2. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
\(0{,}6 = 0{,}4 + 0{,}5 - P(A \cap B)\)
\(P(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}6 = 0{,}3\)
3. \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
\(0{,}7 = 0{,}3 + P(B) - 0{,}2\)
\(0{,}7 - 0{,}3 + 0{,}2 = P(B)\)
On a donc \(P(B) = 0{,}6\),
d'où \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\).
Exercice 4 : Jeu de cartes 2
On tire une carte au hasard d'un jeu de 32 cartes et on considère les événements suivants :\(A\) : « La carte tirée est un pique »
\(B\) : « La carte tirée est une figure »
\(C\) : « La carte tirée est rouge »
\(D\) : « La carte tirée est un As »
- Calculer \(P(A)\) ; \(P(B)\) ; \(P(C)\) et \(P(D)\).
- Énoncer à l'aide d'une phrase les évènements suivants puis calculer leur probabilité :
\(\overline{B}\) ; \(A \cap C\) ; \(A \cup C\) ; \(B \cap C\) ; \(B \cup C\) ; \(\overline{B} \cap \overline{D}\) ; \(\overline{B} \cup \overline{D}\) ; \(\overline{C \cup D}\) ; \(\overline{C \cap D}\)
Correction — Exercice 4
(Figure = Valet, Dame et Roi)1.
\(P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\)
\(P(B) = \dfrac{3 \times 4}{32} = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8}\)
\(P(C) = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}\)
\(P(D) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\)
2.
\(\overline{B}\) : « Ne pas piocher de figure ».
\(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}\)
(Ou directement \(P(\overline{B}) = \dfrac{20}{32} = \dfrac{5}{8}\).)
\(A \cap C\) : « Piocher un pique rouge » \(= \varnothing\) (Évènement impossible).
\(P(A \cap C) = 0\)
\(A \cup C\) : « Piocher un pique ou une carte rouge ».
\(P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 0{,}75\)
(Évènements incompatibles.)
\(B \cap C\) : « Piocher une figure rouge ».
\(B \cap C = \{V\heartsuit\,;D\heartsuit\,;R\heartsuit\,;V\diamondsuit\,;D\diamondsuit\,;R\diamondsuit\}\)
\(P(B \cap C) = \dfrac{6}{32} = 0{,}1875\)
\(B \cup C\) : « Piocher une figure ou une carte rouge ».
\(P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C)\)
\(= \dfrac{12}{32} + \dfrac{16}{32} - \dfrac{6}{32}\)
\(= \dfrac{22}{32} = 0{,}6875\)
\(\overline{B} \cap \overline{D}\) : « Piocher ni une figure ni un As »
= « Piocher 7, 8, 9 ou 10 ».
\(P(\overline{B} \cap \overline{D}) = \dfrac{4 \times 4}{32} = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}\)
\(\overline{B} \cup \overline{D} = \Omega\) = « Piocher une carte du jeu ».
\(P(\overline{B} \cup \overline{D}) = 1\)
\(\overline{C \cup D}\) : « Piocher ni un As, ni une carte rouge ».
Il reste toutes les cartes noires exceptées les As noirs, donc \(16 - 2 = 14\) possibilités.
\(P(\overline{C \cup D}) = \dfrac{14}{32}\)
\(\overline{C \cap D}\) : « Ne pas piocher un As rouge ».
\(P(C \cap D) = \dfrac{2}{32}\) car \(C \cap D = \{A\heartsuit\,;A\diamondsuit\}\).
\(P(\overline{C \cap D}) = 1 - \dfrac{2}{32} = \dfrac{30}{32} = \dfrac{15}{16}\)
Exercice 5 : Village
Un village compte 2400 habitants dont 1140 femmes. Un tiers des habitants du village ont moins de 20 ans. Un habitant sur cinq est un homme de moins de 20 ans. On choisit un habitant au hasard dans le village et on considère les deux évènements suivants :\(A\) : « L'habitant est une femme »
\(B\) : « L'habitant a moins de 20 ans »
Utiliser un tableau croisé pour déterminer la probabilité de chacun des évènements :
\(A \cap B\) ; \(\overline{A}\) ; \(\overline{A} \cap \overline{B}\) ; \(\overline{A} \cup B\) ; \(A \cup \overline{B}\)
Correction — Exercice 5
\(P(\overline{A}) = \dfrac{1260}{2400} = \dfrac{21}{40}\)
\(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \dfrac{780}{2400} = \dfrac{13}{40}\)
\(P(\overline{A} \cup B) = P(\overline{A}) + P(B) - P(\overline{A} \cap B)\)
\(= \dfrac{1260 + 800 - 480}{2400} = \dfrac{1580}{2400} = \dfrac{79}{120}\)
\(P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B})\)
\(= \dfrac{1140 + 1600 - 820}{2400} = \dfrac{1920}{2400} = 0{,}8\)
Exercice 6 : Échiquier
Sur cet échiquier sont placés des pions blancs et des pions noirs. On choisit au hasard une rangée (ligne ou colonne) de cet échiquier et on s'intéresse aux évènements :
\(A\) : « La rangée compte au moins deux pions »
\(B\) : « Il y a au moins un pion noir sur la rangée »
\(A\) : « La rangée compte au moins deux pions »
\(B\) : « Il y a au moins un pion noir sur la rangée »
- Déterminer la probabilité de chacun des évènements \(A\) et \(B\) puis de l'évènement \(A \cap B\).
- Calculer la probabilité de l'évènement \(A \cup B\).
Correction — Exercice 6
1. Il y a 16 rangées au total.\(P(A) = \dfrac{11}{16}\)
\(P(B) = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}\)
Il y a 9 rangées qui comptent au moins 2 pions dont au moins un noir.
\(P(A \cap B) = \dfrac{9}{16}\)
2. \(P(A \cup B) = \dfrac{11}{16} + \dfrac{10}{16} - \dfrac{9}{16} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
Exercice 7 : Défaut
Une usine fabrique des ordinateurs portables. Un contrôle de la production a établi que :
- 15 % des appareils ont un défaut sur l'écran.
- 10 % des appareils ont un défaut sur le clavier.
- 2 % des appareils présentent les deux défauts.
- Quelle est la probabilité d'obtenir un appareil présentant au moins un défaut ?
- Quelle est la probabilité d'obtenir un appareil ne présentant aucun défaut ?
Correction — Exercice 7
\(E\) : « L'appareil choisi a un défaut d'écran. »\(C\) : « L'appareil choisi a un défaut de clavier. »
\(= \dfrac{15}{100} + \dfrac{10}{100} - \dfrac{2}{100} = \dfrac{23}{100}\)
Il y a 23 % des appareils qui présentent au moins un défaut.
2. \(P(\overline{E \cup C}) = 1 - P(E \cup C) = 1 - \dfrac{23}{100} = \dfrac{77}{100}\)
Il y a 77 % des appareils qui ne présentent aucun défaut.
Exercice 8 : Boules numérotées de 00 à 99
Une urne contient 100 boules numérotées 00, 01, 02, …, 99. On tire une boule au hasard et on lit le numéro obtenu. On considère les évènements :\(A\) : « Le chiffre 0 figure dans le numéro »
\(B\) : « Le chiffre 9 figure dans le numéro »
- Déterminer la probabilité de \(A\) puis celle de \(B\).
- Quelles sont les issues qui réalisent l'évènement \(A \cap B\) ? Donner sa probabilité.
- Calculer la probabilité de \(A \cup B\).
- En déduire la probabilité de \(\overline{A \cup B}\).
Correction — Exercice 8
1.\(A = \{00\,;01\,;02\,;\ldots\,;09\,;10\,;20\,;\ldots\,;90\}\)
\(P(A) = \dfrac{19}{100} = 0{,}19\)
\(B = \{09\,;19\,;29\,;\ldots\,;99\,;90\,;91\,;\ldots\,;98\}\)
\(P(B) = \dfrac{19}{100} = 0{,}19\)
2. \(A \cap B = \{09\,;90\}\)
donc \(P(A \cap B) = \dfrac{2}{100} = 0{,}02\)
3. \(P(A \cup B) = 0{,}19 + 0{,}19 - 0{,}02 = 0{,}36\)
4. \(P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\)
