1 – Intersection, Réunion, Évènement contraire
Définition 1 :
- Évènement contraire \(\overline{A}\) : évènement composé des issues qui n'appartiennent pas à \(A\).
- Évènement \(A \cup B\) : évènement composé des issues qui sont dans \(A\) ou dans \(B\) (au moins l'un des deux).
- Évènement \(A \cap B\) : évènement composé des issues qui appartiennent à \(A\) et à \(B\) (les deux à la fois).
- Évènements incompatibles : deux évènements \(A\) et \(B\) sont dits incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas être réalisés simultanément. On a alors : \(A \cap B = \varnothing\).
Évènement contraire \(\overline{A}\)
Évènement \(A \cup B\)
Évènement \(A \cap B\)
Évènements disjoints
Exemple 1 :
Reprenons l'exemple du lancer d'un dé et considérons les évènements suivants :
\(A\) : « Obtenir un chiffre inférieur à 4 » \(B\) : « Obtenir un chiffre pair » \(C\) : « Obtenir le chiffre 5 »
\(A\) : « Obtenir un chiffre inférieur à 4 » \(B\) : « Obtenir un chiffre pair » \(C\) : « Obtenir le chiffre 5 »
- Représenter ces trois évènements sur le diagramme de Venn ci-contre.
- Écrire sous forme d'ensemble les évènements :
\(\overline{A} = \{5\,;6\}\) \(\overline{B} = \{1\,;3\,;5\}\) \(\overline{C} = \{1\,;2\,;3\,;4\,;6\}\)
\(A \cup B = \{1\,;2\,;3\,;4\,;6\}\) \(A \cap B = \{2\,;4\}\) \(A \cap C = \varnothing\) (incompatibles)
2 – Formules de probabilité
Propriété 1 :
On considère deux évènements \(A\) et \(B\).
On considère deux évènements \(A\) et \(B\).
- \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Remarque : Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, alors \(P(A \cap B) = 0\) et donc \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Exemple 2 :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
- Calculer la probabilité des évènements \(A\) : « Obtenir un cœur » et \(B\) : « Obtenir une figure ».
\(P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)
\(P(B) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\) - Formuler à l'aide d'une phrase les évènements suivants puis calculer leur probabilité.
\(\overline{A}\) : « Ne pas obtenir de cœur ».
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\).
\(A \cap B\) : « Obtenir une figure de cœur ».
\(A \cap B = \{V\heartsuit\,;D\heartsuit\,;R\heartsuit\}\)
donc \(P(A \cap B) = \dfrac{3}{32} \approx 0{,}09\).
\(A \cup B\) : « Obtenir une figure ou un cœur ».
\(P(A \cup B) = \dfrac{8}{32} + \dfrac{12}{32} - \dfrac{3}{32}\)
\(= \dfrac{17}{32} \approx 0{,}53\).
