1 – Vocabulaire des probabilités
Vocabulaire :
- Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut prévoir à l'avance le résultat avec certitude.
- Univers : ensemble des résultats possibles de l'expérience. Notation : ensemble noté \(\Omega\).
- Issue : un résultat possible de l'expérience. Notation : élément \(\omega \in \Omega\).
- Évènement : condition qui peut être ou non réalisée lors de l'expérience. Notation : partie \(A \subset \Omega\).
- Évènement impossible : évènement jamais réalisé. Notation : ensemble vide \(\varnothing\).
- Évènement certain : évènement toujours réalisé. Notation : tout l'univers \(\Omega\).
Exemple 1 :
On lance un dé à six faces et on s'intéresse au chiffre obtenu sur la face supérieure du dé.
- Univers : \(\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\).
- Issue : « 4 » est une issue possible. On note \(4 \in \Omega\).
- Évènements :
\(A\) : « Obtenir 6 » noté \(A = \{6\}\) (évènement élémentaire).
\(B\) : « Obtenir un nombre pair » noté \(B = \{2\,;4\,;6\}\).
\(C\) : « Obtenir un nombre inférieur à 4 » noté \(C = \{1\,;2\,;3\,;4\}\). - Évènement impossible : \(D\) : « Obtenir 7 ».
- Évènement certain : \(E\) : « Obtenir un chiffre ».
2 – Probabilité d'un évènement
Définition 1 :
La probabilité d'un évènement \(A\), notée \(P(A)\), est un nombre compris entre \(0\) et \(1\) qui mesure la « chance » que cet évènement se produise.
La probabilité d'un évènement \(A\), notée \(P(A)\), est un nombre compris entre \(0\) et \(1\) qui mesure la « chance » que cet évènement se produise.
Approche statistique : Lorsque l'on réalise un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d'un évènement se stabilise autour d'une certaine valeur limite qui est la probabilité de cet évènement. Ce principe statistique est appelé la loi des grands nombres.
Exemple 2 :
Si le dé est équilibré, la probabilité de l'évènement \(A\) : « Obtenir 6 » est : \(P(A) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}166\).
Propriété 1 :
- La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des issues qui le composent.
- La somme des probabilités de toutes les issues est égale à \(1\).
Exemple 3 :
- Soit l'évènement \(F\) : « Obtenir un multiple de 3 » :
\(P(F) = P(\text{«3»}) + P(\text{«6»})\)
\(= \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\). - \(P(\text{«1»}) + P(\text{«2»}) + P(\text{«3»})\)
\(+ P(\text{«4»}) + P(\text{«5»}) + P(\text{«6»})\)
\(= \dfrac{1}{6} \times 6 = 1\).
Propriété 2 :
Dans une situation d'équiprobabilité (c'est-à-dire toutes les issues ont la même probabilité), la probabilité d'un évènement \(A\) vaut : \[P(A) = \frac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre d'issues total}}\]
Dans une situation d'équiprobabilité (c'est-à-dire toutes les issues ont la même probabilité), la probabilité d'un évènement \(A\) vaut : \[P(A) = \frac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre d'issues total}}\]
Exemple 4 :
Si le dé est bien équilibré, on est dans une situation d'équiprobabilité : chaque issue a pour probabilité \(\dfrac{1}{6}\).Soit l'évènement \(G\) : « Obtenir un nombre impair », alors \(G = \{1\,;3\,;5\}\) et \(P(G) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
