Probabilité d'un évènement
Exercice 1 : Roue
La roue ci-contre est partagée en 24 secteurs identiques regroupés en six zones de couleurs différentes. L'expérience aléatoire consiste à faire tourner la roue et à noter le numéro de la zone sur laquelle elle s'arrête.
- Déterminer l'univers associé à cette expérience aléatoire.
- Compléter le tableau suivant :
- Calculer la probabilité des évènements :
a. \(A\) : « Le numéro du secteur est impair »
b. \(B\) : « Le numéro du secteur est un multiple de 3 »
c. \(C\) : « Le numéro du secteur est inférieur ou égal à 4 »
Correction — Exercice 1
1. \(\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\)2. Compléter le tableau suivant :
a. \(A = \{1\,;3\,;5\}\).
\(P(A) = \dfrac{3 + 4 + 3}{24} = \dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12}\)
b. \(B = \{3\,;6\}\). \(P(B) = \dfrac{4 + 4}{24} = \dfrac{8}{24}\)
c. \(C = \{1\,;2\,;3\,;4\}\).
\(P(C) = \dfrac{3 + 8 + 4 + 2}{24} = \dfrac{17}{24}\)
Exercice 2 : Bataille navale
Sur la grille sont disposés six bateaux : trois porte-avions qui couvrent chacun deux cases et trois croiseurs qui couvrent chacun une case. Pour un tir, le joueur choisit une case au hasard.
- Quel est le nombre d'issues totales ?
- Déterminer la probabilité des évènements :
a. \(A\) : « Le joueur touche un bateau »
b. \(B\) : « Le joueur touche un porte-avion » - Le joueur tire en H4 et l'adversaire indique « Porte-avion touché ». Quelle est la probabilité pour le joueur de couler ce porte-avion au prochain tour ?
Correction — Exercice 2
1. \(8 \times 8 = 64\) cases.2. Déterminer la probabilité des évènements :
a. \(P(A) = \dfrac{9}{64}\)
b. \(P(B) = \dfrac{6}{64}\)
3. Le joueur a trois possibilités pour couler le bateau : les cases \(H3\), \(H5\) et \(G4\). Il a donc \(1\) chance sur \(3\).
Exercice 3 : Groupe sanguin
La répartition des groupes sanguins dans la population française est donnée dans le tableau suivant :
- Quel est l'univers associé à cette expérience ?
- Déterminer la probabilité des évènements :
\(A\) : « La personne est du groupe A »
\(B\) : « La personne est de Rhésus négatif »
\(C\) : « La personne est du groupe AB+ »
Correction — Exercice 3
2. Déterminer la probabilité des évènements :
\(A = \{A+\,;A-\}\). \(P(A) = \dfrac{39 + 6}{100} = \dfrac{45}{100}\)
\(B = \{O-\,;A-\,;B-\,;AB-\}\). \(P(B) = \dfrac{6 + 6 + 2 + 1}{100} = \dfrac{15}{100}\)
\(C = \{AB+\}\). \(P(C) = \dfrac{2}{100}\)
Exercice 4 : Jeu de cartes
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On note sa couleur et sa valeur. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :\(A\) : « La carte tirée est de couleur noire ».
\(B\) : « La carte tirée est une figure ».
\(C\) : « La carte tirée est un as ».
\(D\) : « La carte tirée est un cœur ».
\(E\) : « La carte tirée est un as de cœur ».
Correction — Exercice 4
\(P(A) = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\)\(P(B) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\)
\(P(C) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\)
\(P(D) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)
\(P(E) = \dfrac{1}{32} \approx 0{,}031\)
Exercice 5 : Dés pipés
On dispose d'un dé pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Une étude statistique a conduit à l'estimation suivante :
- Les faces de 1 à 5 ont même probabilité de sortie.
- La probabilité d'obtenir un 6 est de \(0{,}3\).
Correction — Exercice 5
Soit \(p = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5)\).| Issues | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | Total |
| Probabilités | \(p\) | \(p\) | \(p\) | \(p\) | \(p\) | \(0{,}3\) | \(1\) |
D'où \(p = \dfrac{0{,}7}{5} = 0{,}14\).
Exercice 6 : Deux dés
On lance deux dés bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
- On s'intéresse à la somme des deux chiffres obtenus sur la face supérieure des deux dés.
- Déterminer l'univers de cette expérience.
- Est-on dans une situation d'équiprobabilité ?
- Déterminer la probabilité de chacune des issues (on pourra utiliser un tableau à double entrée).
- Même question en conservant cette fois-ci le maximum des deux chiffres obtenus sur la face supérieure des deux dés.
Correction — Exercice 6
1. On réalise un tableau à double entrée (somme des deux dés) :| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | |
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) |
| \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
| \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
| \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) |
| \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) |
b. Non car par exemple le \(7\) a plus de chance de sortir que le \(12\).
c. Il y a \(6 \times 6 = 36\) issues. On compte le nombre de fois où apparaît chaque valeur :
| \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) |
| \(\dfrac{1}{36}\) | \(\dfrac{2}{36}\) | \(\dfrac{3}{36}\) | \(\dfrac{4}{36}\) | \(\dfrac{5}{36}\) | \(\dfrac{6}{36}\) | \(\dfrac{5}{36}\) | \(\dfrac{4}{36}\) | \(\dfrac{3}{36}\) | \(\dfrac{2}{36}\) | \(\dfrac{1}{36}\) |
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | |
| \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| \(4\) | \(4\) | \(4\) | \(4\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(6\) |
| \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) |
b. Non car par exemple le \(6\) a plus de chance de sortir que le \(1\).
c. Il y a \(6 \times 6 = 36\) issues. On compte le nombre de fois où apparaît chaque valeur :
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| \(\dfrac{1}{36}\) | \(\dfrac{3}{36}\) | \(\dfrac{5}{36}\) | \(\dfrac{7}{36}\) | \(\dfrac{9}{36}\) | \(\dfrac{11}{36}\) |
Utilisation d'un arbre
Exercice 7 : Pile ou Face
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer 3 fois de suite une pièce équilibrée : \(PFP\) est un exemple d'issue (\(P\) pour Pile et \(F\) pour Face).
- Utiliser un arbre pour obtenir l'ensemble \(\Omega\) de toutes les issues.
- Est-on dans une situation d'équiprobabilité ?
- Calculer la probabilité des évènements :
a. \(A\) : « Obtenir une seule fois pile »
b. \(B\) : « Obtenir exactement 3 piles »
c. \(C\) : « Obtenir au moins 2 piles »
Correction — Exercice 7
\(FPP\,;FPF\,;FFP\,;FFF\}\) 2. Oui, car chaque issue a la même probabilité.
3. Calculer la probabilité des évènements :
a. \(A = \{PFF\,;FPF\,;FFP\}\). \(P(A) = \dfrac{3}{8}\)
b. \(B = \{PPP\}\). \(P(B) = \dfrac{1}{8}\)
c. \(C = \{PPF\,;FPP\,;PFP\,;PPP\}\).
\(P(C) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\)
Exercice 8 : Plan de la ville
Le plan ci-dessous représente les rues qui mènent de l'habitation de Kévin à son lycée.
- À l'aide d'un arbre, représenter tous les trajets possibles.
- Kévin choisit un trajet au hasard (on suppose qu'il ne revient pas en arrière). Quelle est la probabilité qu'il passe :
a. Par la poste ? b. Par la boulangerie ?
Correction — Exercice 8
a. 1 chance sur \(6\).
b. 3 chances sur 6, c'est-à-dire 1 chance sur 2.
Exercice 9 : QCM
Un QCM contient 2 questions avec 3 réponses possibles. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une bonne réponse en répondant au hasard ?
Correction — Exercice 9
Exercice 10 : QCM 2
Un test consiste à répondre à 4 questions par « vrai » ou par « faux ». Chaque réponse juste est notée 5 points et chaque réponse fausse est notée −3 pts. Un candidat qui n'a pas travaillé répond au hasard à chacune de ces questions.
- Construire un arbre représentant toutes les possibilités.
- Quelle est la probabilité que le candidat ait toutes ses réponses justes ?
- Quelle est la probabilité qu'il ait exactement 2 réponses justes ?
- Quelle est la probabilité qu'il ait une note supérieure ou égale à 12 ?
Correction — Exercice 10
1. Voir schéma ci-dessous.2. La probabilité est de \(\dfrac{1}{16}\).
3. La probabilité est de \(\dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\).
4. La probabilité est de \(\dfrac{5}{16}\).
Exercice 11 : Urne
Une urne contient deux boules jaunes \(J_1\) et \(J_2\), une boule rouge \(R\) et une boule bleue \(B\).
- On pioche successivement et avec remise deux boules dans l'urne. Déterminer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
- On pioche successivement sans remise deux boules dans l'urne. Déterminer la probabilité de ne pas obtenir de boule jaune.
Correction — Exercice 11
2. La probabilité est de \(\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\).
Exercice 12 : Deux urnes
On considère le jeu suivant :« Choisir une urne puis piocher deux boules. Vous gagnez si les deux boules sont de la même couleur. »
Correction — Exercice 12
Nous allons utiliser des arbres pondérés. On indique sur chaque branche la probabilité de chaque évènement. Pour calculer la probabilité d'un chemin on multiplie les probabilités qui sont sur les branches.
Urne 1 :
\(P(BB) + P(NN) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)
Urne 2 :
\(P(BB) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)
Conclusion : Mieux vaut choisir l'urne \(2\).
Utilisation d'un tableau
Exercice 13 : Laboratoire
Un laboratoire veut tester l'efficacité d'un vaccin sur des souris. Certaines ont été vaccinées, d'autres pas. Toutes ont reçu le virus de la maladie considérée. On sait que :
- L'expérience est réalisée sur 175 souris au total.
- 90 souris ont été vaccinées.
- 120 souris ont développé la maladie, et parmi celles-ci, 65 avaient été vaccinées.
- Compléter le tableau suivant :
Souris Malades Saines Total Vaccinée Non vaccinée Total - On choisit une souris au hasard dans cette population. Quelle est la probabilité que ce soit :
a. Une souris n'ayant pas développé la maladie.
b. Une souris non vaccinée.
c. Une souris ayant développé la maladie, sachant qu'elle n'a pas été vaccinée.
d. Une souris ayant développé la maladie, sachant qu'elle a été vaccinée. - Que pensez-vous de l'efficacité de ce vaccin ?
Correction — Exercice 13
1. Compléter le tableau suivant :| Souris | Malades | Saines | Total |
| Vaccinée | 65 | 25 | 90 |
| Non vaccinée | 55 | 30 | 85 |
| Total | 120 | 55 | 175 |
a. \(\dfrac{55}{175} = \dfrac{11}{35}\)
b. \(\dfrac{85}{175} = \dfrac{17}{35}\)
c. \(\dfrac{55}{85} = \dfrac{11}{17} \approx 0{,}65\)
d. \(\dfrac{65}{90} = \dfrac{13}{18} \approx 0{,}72\)
3. Il n'est pas efficace car la probabilité d'être malade en étant vacciné est quasiment identique (même supérieure !) qu'en n'étant pas vacciné.
