Activité 1 : Expérience aléatoire sur un segment

Soit \([MN]\) un segment de longueur \(10\,cm\). On considère l'expérience suivante :
« Choisir au hasard un point \(P\) du segment \([MN]\) puis mesurer la longueur \([MP]\) (arrondie au mm près). »

a. Réaliser cette expérience.
b. Pourquoi peut-on dire qu'il s'agit d'une expérience aléatoire ?
c. Quel est l'ensemble des valeurs possibles de cette expérience ?
On considère 3 évènements de cette expérience \(A\), \(B\) et \(C\) définis ci-dessous. Pour chacun d'eux :
a. Représentez-les sur le segment \([MN]\), puis écrivez-les sous forme d'ensemble.
b. Déterminer leur probabilité.
c. Quelle est leur fréquence de réalisation au sein de la classe ? Que remarque-t-on ?
\(A\) : « Choisir un nombre inférieur à 5 »
\(B\) : « Choisir un nombre entre 3 et 7 »
\(C\) : « Choisir un nombre supérieur à 8 »
Représenter les évènements, puis écrire ces évènements sous forme d'ensemble.
\(A \cap B\) : « Choisir un nombre inférieur à 5 et compris entre 3 et 7 »
\(A \cup B\) : « Choisir un nombre inférieur à 5 ou compris entre 3 et 7 »
\(\overline{C}\) : « Ne pas choisir un nombre supérieur à 8 »
Écrire sous forme d'ensemble les évènements : \(\overline{A}\), \(\overline{B}\), \(A \cap C\), \(B \cup C\), \(\overline{A} \cap B\), \(A \cup B \cup C\).

Correction — Activité 1

1.
a. Par exemple : \(MP \approx 4{,}3\).
b. Car on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
c. L'univers de cette expérience est l'intervalle \(\Omega = [0\,;10]\).
2. Question a. et b. pour les évènements \(A\), \(B\) et \(C\) :
\(A = [0\,;5]\) ; \(P(A) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\)

\(B = [3\,;7]\) ; \(P(B) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)

\(C = [8\,;10]\) ; \(P(C) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\)

c. La fréquence de réalisation au sein de la classe est proche de la probabilité calculée.
3. Représenter les évènements, puis écrire ces évènements sous forme d'ensemble.
\(A \cap B = [3\,;5]\) :

\(A \cup B = [0\,;7]\) :

\(\overline{C} = [0\,;8[\) :

Segment MN avec le complémentaire de C = [0;8[

4. \(\overline{A} = \,]5\,;10]\), \(\overline{B} = [0\,;3[\,\cup\,]7\,;10]\),
\(A \cap C = \varnothing\), \(B \cup C = [3\,;7] \cup [8\,;10]\),
\(\overline{A} \cap B = [5\,;7]\), \[A \cup B \cup C = [0\,;7] \cup [8\,;10]\]

Activité 2 : Vocabulaire des probabilités

Choisir 3 expériences aléatoires, puis les décrire en utilisant le vocabulaire vu précédemment.

Vocabulaire	Expérience 1	Expérience 2	Expérience 3
Univers
Issue
Évènements
Évènement impossible
Évènement certain

Correction — Activité 2

Expérience 1 : Lancer un dé à 6 faces.
Expérience 2 : Lancer une pièce de monnaie.
Expérience 3 : Piocher une carte dans un jeu de 52 cartes.

Vocabulaire	Expérience 1	Expérience 2	Expérience 3
Univers	\(\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\)	\(\Omega = \{\text{Pile}\,;\text{Face}\}\)	\(\Omega =\) les 52 cartes
Issue	« \(1\) »	« Pile »	« \(A\heartsuit\) »
Évènements	\(A\) = « Obtenir un chiffre pair » \(= \{2\,;4\,;6\}\) \(B\) = « Obtenir 6 » \(= \{6\}\)	\(A\) = « Obtenir pile » \(B\) = « Obtenir face »	\(A\) = « Obtenir une figure » \(B\) = « Obtenir un trèfle »
Évènement impossible	« Obtenir \(7\) »	« Tomber sur la tranche »	« Obtenir le \(17\heartsuit\) »
Évènement certain	« Obtenir un chiffre »	« Obtenir une des faces »	« Obtenir une carte du jeu »

Activité 3 : Compter les éléments de \(A \cup B\)

Sur le schéma ci-contre :
1. Compter les éléments de \(A\).
2. Compter les éléments de \(B\).
3. Certains éléments ont été comptés deux fois. Lesquels ?
4. En déduire une formule pour compter les éléments de \(A \cup B\) :
  \(n_{A \cup B} =\) ………………………
Dans le cas où \(A\) et \(B\) sont incompatibles :
1. Combien y a-t-il d'éléments dans \(A \cap B\) ?
2. Dans ce cas, que devient la formule précédente ?
  \(n_{A \cup B} =\) ………………………

Diagramme de Venn avec deux ensembles et des éléments

Diagramme de Venn avec deux ensembles disjoints

Correction — Activité 3

1. Sur le schéma ci-contre :
a. \(n_A = 7\).
b. \(n_B = 5\).
c. Ceux qui sont dans \(A\) et dans \(B\), c'est-à-dire ceux de \(A \cap B\).
d. En déduire une formule pour compter les éléments de \(A \cup B\) :
\(n_{A \cup B} = n_A + n_B - n_{A \cap B}\) \((10 = 7 + 5 - 2)\)
2. Dans le cas où \(A\) et \(B\) sont incompatibles :
a. \(n_{A \cap B} = 0\).
b. Dans ce cas, que devient la formule précédente ?
\(n_{A \cup B} = n_A + n_B\) \((9 = 5 + 4)\)

Diagramme de Venn avec deux ensembles A et B et leurs éléments

Diagramme de Venn avec deux ensembles disjoints A et B

Activité 4 : Coloriage

a. Colorier les ensembles \(\overline{A}\), \(A \cup B\) et \(A \cap B\).

b. Colorier les ensembles \(\overline{A} \cap \overline{B}\) et \(\overline{A \cup B}\). Que remarque-t-on ?
c. Colorier les ensembles \(\overline{A} \cup \overline{B}\) et \(\overline{A \cap B}\). Que remarque-t-on ?
a. Colorier les ensembles \(A \cup B\), \(A \cap C\), \(\overline{B}\), \((A \cup B) \cap \overline{C}\).

b. Pour chacun des schémas ci-dessous, écrire la notation des ensembles hachurés.

Correction — Activité 4

1. a. Colorier les ensembles \(\overline{A}\), \(A \cup B\) et \(A \cap B\) :

\(\overline{A}\)

\(A \cup B\)

\(A \cap B\)

b. Colorier les ensembles \(\overline{A} \cap \overline{B}\) et \(\overline{A \cup B}\). On remarque que \(\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}\) (formule de Morgan).

\(\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}\)

c. Colorier les ensembles \(\overline{A} \cup \overline{B}\) et \(\overline{A \cap B}\). On remarque que \(\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}\) (formule de Morgan).