1 – Définition
Définition 1 : Une suite est dite arithmético-géométrique si elle est définie pour tout rang \(n\), par une relation de récurrence de la forme \(u_{n+1} = au_{n} + b\) avec \(a\) et \(b\) deux nombres réels.
Remarque : On a donc \(u_{n+1} = f(u_{n})\) avec \(f\) une fonction affine \(f(x) = ax + b\).
Cas particuliers :
• Si \(a = 0\), la suite est constante égale à \(b\).
• Si \(a = 1\), la suite est arithmétique de raison \(b\).
• Si \(b = 0\), la suite est géométrique de raison \(a\).
• Si \(a = 0\), la suite est constante égale à \(b\).
• Si \(a = 1\), la suite est arithmétique de raison \(b\).
• Si \(b = 0\), la suite est géométrique de raison \(a\).
Exemple 1 :
On considère la suite \((u_{n})\) définie par \(u_{0} = 2\) et pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 5\).
1) Justifier que \((u_{n})\) est une suite arithmético-géométrique : \(u_{n+1} = au_{n} + b\) avec \(a = 0{,}5\) et \(b = 5\).
2) Déterminer la fonction \(f\) telle que \(u_{n+1} = f(u_{n})\) : \(f\) est la fonction affine \(f(x) = \dfrac{1}{2}x + 5\).
3) Calculer les trois premiers termes de la suite.
\(u_{1} = \dfrac{1}{2} \times u_{0} + 5 = \dfrac{1}{2} \times 2 + 5 = 6\) ;
\(u_{2} = \dfrac{1}{2} \times u_{1} + 5 = \dfrac{1}{2} \times 6 + 5 = 8\) ;
\(u_{3} = \dfrac{1}{2} \times u_{2} + 5 = \dfrac{1}{2} \times 8 + 5 = 9\).
2 – Représentation graphique et limite
Exemple 2 :
On reprend la suite \((u_{n})\) :
\(\begin{cases} u_{0} = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 5 \end{cases}\)
1) Représenter graphiquement la suite \((u_{n})\) :
• Etape 1 : On représente la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{2}x + 5\).
• Etape 2 : On trace la droite d'équation \(y = x\).
• Etape 3 : On place \(u_{0}\) sur l'axe des abscisses.
• Etape 4 : On utilise la courbe de \(f\) pour déterminer \(u_{1}\) puis la droite d'équation \(y = x\) pour le reporter sur l'axe des abscisses.
• Etape 5 : On réitère le procédé avec \(u_{1}\) pour avoir \(u_{2}\), etc.
Propriété 1 : Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) et \((u_{n})\) une suite telle que \(u_{n+1} = f(u_{n})\).
Si \((u_{n})\) converge vers un nombre réel \(L\) alors on a \(f(L) = L\).
Si \((u_{n})\) converge vers un nombre réel \(L\) alors on a \(f(L) = L\).
Remarque : Une suite arithmético-géométrique n'est pas toujours convergente. Cependant, lorsque c'est le cas, la limite correspond à l'abscisse du point d'intersection entre \(\mathcal{C}_{f}\) et \(y = x\).
Exemple 3 :
On admet que la suite précédente est convergente. Déterminer alors sa limite \(L\).
Si \((u_{n})\) converge vers \(L\) alors on a \(f(L) = 0{,}5L + 5 = L\) soit \(0{,}5L = 5\) d'où \(L = 10\). Donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = 10\).
3 – Recherche de la formule explicite
Il est possible de trouver une formule explicite pour une suite arithmético-géométrique.
Exemple 4 :
On reprend la suite \((u_{n})\) :
\(\begin{cases} u_{0} = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 5 \end{cases}\)
1) Déterminer une suite constante \((c_{n})\) vérifiant pour tout rang \(n\), \(c_{n+1} = \dfrac{1}{2}c_{n} + 5\).
Si la suite \((c_{n})\) est constante, cela signifie que pour tout rang \(n\), on a \(c_{n+1} = c_{n}\).
Pour tout rang \(n\), on a donc \(\dfrac{1}{2}c_{n} + 5 = c_{n}\) c'est-à-dire \(\dfrac{1}{2}c_{n} = 5\) d'où \(c_{n} = 10\).
La suite constante égale à \(10\) vérifie \(c_{n+1} = \dfrac{1}{2}c_{n} + 5\).
2) Soit \(v_{n} = u_{n} - 10\). Montrer que la suite \((v_{n})\) est géométrique et déterminer sa raison et son 1er terme.
\(v_{n+1} = u_{n+1} - 10 = \dfrac{1}{2}u_{n} + 5 - 10 = \dfrac{1}{2}u_{n} - 5\)
\(= \dfrac{1}{2}u_{n} - \dfrac{1}{2} \times 10 = \dfrac{1}{2}(u_{n} - 10) = \dfrac{1}{2}v_{n}\)
Pour tout rang \(n\), on a \(v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_{n}\) ce qui prouve que la suite \((v_{n})\) est géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{2}\). \[v_{0} = u_{0} - 10 = 2 - 10 = -8\]
3) Déterminer la formule explicite de la suite \((v_{n})\).
On a donc, pour tout rang \(n\),
\(v_{n} = v_{0} \times q^{n} = (-8) \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\).
4) En déduire la formule explicite de \((u_{n})\).
Pour tout rang \(n\), on a
\(u_{n} = v_{n} + 10 = (-8) \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} + 10\)
\(= 10 - 8 \times 0{,}5^{n}\).
5) Retrouver par le calcul, la limite de la suite \((u_{n})\).
On sait que \(\lim_{n \rightarrow + \infty} 0{,}5^{n} = 0\) car \(0 < 0{,}5 < 1\) donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty} u_{n} = 10 - 8 \times 0 = 10\).
Remarque : De façon générale, si \((c_{n})\) est la suite constante solution de la relation de récurrence \(u_{n+1} = au_{n} + b\) alors la suite \((v_{n})\) définie par \(v_{n} = u_{n} - c_{n}\) est une suite géométrique de raison \(a\).
Démonstration
En effet, \(v_{n+1} = u_{n+1} - c_{n+1}\) \[= au_{n} + b - (ac_{n} + b)\] \[= au_{n} + b - ac_{n} - b\] \[= a(u_{n} - c_{n})\] \[= av_{n}\] Ainsi, en passant par la formule explicite de \(v_{n}\), et en notant \(c\) la valeur de la suite constante solution, on obtient une formule explicite générale pour les suites arithmético-géométriques \(u_{n+1} = au_{n} + b\) : \(u_{n} = v_{n} + c_{n} = v_{0} \times a^{n} + c\)\(= (u_{0} - c) \times a^{n} + c\)
