1 – Limite d'une suite arithmétique
Propriété 1 : On considère une suite arithmétique \((u_{n})\) de raison \(r\) et de premier terme \(u_{0}\).
• Si \(r > 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = + \infty\)
• Si \(r < 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = - \infty\)
• Si \(r = 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = u_{0}\)
• Si \(r > 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = + \infty\)
• Si \(r < 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = - \infty\)
• Si \(r = 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = u_{0}\)
Remarque : On peut démontrer cette propriété en utilisant la formule explicite d'une suite arithmétique.
Exemple 1 :
Déterminer les limites des suites arithmétiques \((u_{n})\) dans les cas suivants :
• \(u_{0} = -1\) et \(r = 5\) : Pour tout rang \(n\), on a \(u_{n} = -1 + 5n\) donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = + \infty\).
• \(u_{0} = 1\) et \(r = -3\) : Pour tout rang \(n\), on a \(u_{n} = 1 - 3n\) donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = - \infty\).
• \(u_{0} = 2\) et \(r = 0\) : La suite est constante égale à \(2\) donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = 2\).
2 – Limite d'une suite géométrique
Propriété 2 : Soit \(q\) un nombre réel positif.
• Si \(q > 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{q^{n}} = + \infty\)
• Si \(0 < q < 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{q^{n}} = 0\)
• Si \(q = 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{q^{n}} = 1\)
• Si \(q > 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{q^{n}} = + \infty\)
• Si \(0 < q < 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{q^{n}} = 0\)
• Si \(q = 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{q^{n}} = 1\)
Remarque : Lorsque \(q\) est négatif alors la suite \((q^{n})\) n'a pas de limite lorsque \(q \leq -1\).
Exemple 2 :
Représentation graphique et limite de la suite \(u_{n} = q^{n}\) en fonction de \(q\) :
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = + \infty\)
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = 0\)
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = 0\)
Pas de limite
Propriété 3 : On considère une suite géométrique \((u_{n})\) de raison \(q > 0\) et de premier terme \(u_{0}\).
• Si \(q > 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = \pm \infty\) où le signe est donné par celui de \(u_{0}\).
• Si \(0 < q < 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = 0\).
• Si \(q = 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = u_{0}\).
• Si \(q > 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = \pm \infty\) où le signe est donné par celui de \(u_{0}\).
• Si \(0 < q < 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = 0\).
• Si \(q = 1\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = u_{0}\).
Remarque : On peut démontrer cette propriété en utilisant la formule explicite d'une suite géométrique.
Exemple 3 :
Déterminer les limites des suites géométriques \((u_{n})\) dans les cas suivants :
• \(u_{0} = -5\) et \(q = 2\) : Pour tout rang \(n\), on a \(u_{n} = (-5) \times 2^{n}\) donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = - \infty\).
• \(u_{0} = 3\) et \(q = \dfrac{1}{2}\) : Pour tout rang \(n\), on a \(u_{n} = 3 \times 0{,}5^{n}\) donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = 0\).
• \(u_{0} = -1\) et \(q = 1\) : La suite est constante égale à \(-1\) donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = -1\).
3 – Limite de la somme des termes d'une suite géométrique
Propriété 4 (admise) : Si \(q \neq 1\) alors
\[1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\]
Remarque : \(1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n}\) s'écrit également \(\displaystyle\sum_{k = 0}^{n}q^{k}\) (par convention on a \(q^{0} = 1\)).
Exemple 4 :
\(\sum_{k = 0}^{10}2^{k} = 1 + 2 + 2^{2} + \ldots + 2^{10}\)\(= \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047\)
Propriété 5 : Si \(0 < q < 1\) alors
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{k = 0}^{n}q^{k} = \dfrac{1}{1 - q}\]
Remarque : \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{k = 0}^{n}q^{k}\) peut s'écrire
également \(\displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty}q^{k}\).
également \(\displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty}q^{k}\).
Démonstration
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{k = 0}^{n}q^{k} = \lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\)\(= \dfrac{1}{1 - q}\) car comme \(q < 1\), on a \(\lim_{n \rightarrow + \infty} q^{n + 1} = 0\).
Exemple 5 :
Un homme marche à l'infini, en parcourant un premier pas d'un mètre, puis à chaque fois, en effectuant un pas deux fois plus petit que le précédent. Quelle distance totale va-t-il parcourir ?
\(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots\)\(= 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{2^{3}} + \ldots = \sum_{k = 0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}\)
\(= \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2\) Il va parcourir une distance totale de \(2\) m.
Propriété 6 : On considère une suite géométrique \((u_{n})\) de raison \(0 < q < 1\) et de premier terme \(u_{0}\).
On note \(S_{n}\) la somme des \(n + 1\) termes de la suite \((u_{n})\) :
\(S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} u_{k}\), alors : \[\lim_{n \rightarrow + \infty} S_{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} u_{k} = \dfrac{u_{0}}{1 - q}\]
On note \(S_{n}\) la somme des \(n + 1\) termes de la suite \((u_{n})\) :
\(S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} u_{k}\), alors : \[\lim_{n \rightarrow + \infty} S_{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} u_{k} = \dfrac{u_{0}}{1 - q}\]
Remarque : On a \(S_{n} = u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\).
Démonstration
• \(\displaystyle S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k} = \sum_{k = 0}^{n} u_{0} \times q^{k}\)\(\displaystyle = u_{0} \times \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\)
• On a donc \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow + \infty} S_{n} = u_{0} \times \dfrac{1}{1 - q}\)
\(= \dfrac{u_{0}}{1 - q}\) car \(\lim_{n \rightarrow + \infty} q^{n + 1} = 0\).
Exemple 6 :
On fait osciller un pendule le long d'une ficelle de \(50\) cm. Les frottements de l'air sur le pendule ralentissent le pendule, et on considère qu'après chaque balancement il parcourt une distance diminuée de \(1\,\%\) par rapport au tour précédent. Le pendule est lâché, écarté de sa position d'équilibre de sorte que la ficelle soit parallèle au sol. On note \(d_{n}\) la distance parcourue par le pendule après le \(n\)-ième balancement.
1) Justifier que \((d_{n})\) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
• On admet que le pendule commence par réaliser un 1/4 de tour \(45° + 45°\) (en réalité un peu moins...).
On a donc \(d_{0} = \dfrac{\pi}{2} \times 50 = 25\pi \approx 78{,}5\) cm.
• Chaque tour, il parcourt une distance diminuée de \(1\,\%\) :
\(d_{n+1} = \left(1 - \dfrac{1}{100}\right) \times d_{n} = 0{,}99 \, d_{n}\).
La suite \((d_{n})\) est donc géométrique de raison \(q = 0{,}99\).
2) Calculer la distance totale parcourue par le pendule.
• On considère que le pendule oscille à l'infini (en réalité ce n'est pas le cas...).
• On doit ainsi calculer la somme de toutes les distances parcourues : \(\lim_{n \rightarrow + \infty} S_{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} d_{k} = \dfrac{d_{0}}{1 - q}\)
\(= \dfrac{25\pi}{1 - 0{,}99} = \dfrac{25\pi}{0{,}01} = 2500\pi \approx 7854\) cm soit environ \(78{,}5\) m.
