1 – Suites de références
Propriété 1 :
• Les suites de terme général \(n\), \(n^2\), \(n^{3}\), \(n^{k}\) (où \(k\) est un entier positif) et \(\sqrt{n}\) ont pour limite \(+ \infty\).
• Les suites de terme général \(\dfrac{1}{n}\), \(\dfrac{1}{n^2}\), \(\dfrac{1}{n^{3}}\), \(\dfrac{1}{n^{k}}\) (où \(k\) est un entier positif) et \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) ont pour limite \(0\).
• Les suites de terme général \(n\), \(n^2\), \(n^{3}\), \(n^{k}\) (où \(k\) est un entier positif) et \(\sqrt{n}\) ont pour limite \(+ \infty\).
• Les suites de terme général \(\dfrac{1}{n}\), \(\dfrac{1}{n^2}\), \(\dfrac{1}{n^{3}}\), \(\dfrac{1}{n^{k}}\) (où \(k\) est un entier positif) et \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) ont pour limite \(0\).
Remarque : On peut même énoncer une propriété plus générale. Soit \(a\) un nombre réel :
• Si \(a > 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{a}} = + \infty\)
• Si \(a < 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{a}} = 0\)
• Si \(a > 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{a}} = + \infty\)
• Si \(a < 0\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{a}} = 0\)
Exemple 1 :
• \(a = 3\) : \(u_{n} = n^{3}\)
• \(a = 0{,}5\) : \(u_{n} = n^{1/2} = \sqrt{n}\)
• \(a = -1\) : \(u_{n} = n^{-1} = \dfrac{1}{n}\)
Propriété 2 : La limite d'une suite constante est égale à sa valeur.
2 – Opérations sur les limites
• Règles pour la somme :
• Règles pour le produit :
• Règles pour le quotient :
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty} u_{n}\) | \(L\) | \(L\) | \(L\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) | \(+ \infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty} v_{n}\) | \(L'\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) | \(- \infty\) |
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty} (u_{n} + v_{n})\) | \(L + L'\) | \(\mathbf{+ \infty}\) | \(\mathbf{- \infty}\) | \(\mathbf{+ \infty}\) | \(\mathbf{- \infty}\) | F.I. |
• Règles pour le produit :
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty} u_{n}\) | \(L\) | \(L\) | \(\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty} v_{n}\) | \(L'\) | \(\infty\) | \(\infty\) | \(\infty\) |
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty} (u_{n} \times v_{n})\) | \(L \times L'\) | \(\mathbf{\infty}^{*}\) | \(\mathbf{\infty}^{*}\) | F.I. |
• Règles pour le quotient :
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty} u_{n}\) | \(L\) | \(L \neq 0\) | \(L\) | \(\infty\) | \(\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty} v_{n}\) | \(L' \neq 0\) | \(0\) | \(\infty\) | \(L\) | \(\infty\) | \(0\) |
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}\) | \(\dfrac{L}{L'}\) | \(\mathbf{\infty}^{*}\) | \(\mathbf{0}\) | \(\mathbf{\infty}^{*}\) | F.I. | F.I. |
(*) : On utilise la règle des signes pour déterminer si c'est \(+ \infty\) ou \(- \infty\).
\(F.I.\) : signifie « Forme Indéterminée », c'est-à-dire que l'on ne peut pas calculer directement.
\(F.I.\) : signifie « Forme Indéterminée », c'est-à-dire que l'on ne peut pas calculer directement.
Exemple 2 :
• \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{\dfrac{1}{n}} = 0\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{1} = 1\), donc
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(\dfrac{1}{n} + 1\right) = 1\).
• \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{2}} = + \infty\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{(-2)} = -2\), donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{(-2)n^{2}} = - \infty\).
• \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{n} = + \infty\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{\sqrt{n}} = + \infty\), donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{n\sqrt{n}} = + \infty\).
• \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{3} = 3\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{(n^{2} + 1)} = + \infty\), donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{\dfrac{3}{n^{2} + 1}} = 0\).
• \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{\dfrac{2}{n}} = 0\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{(-3n)} = - \infty\), donc
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(\dfrac{2}{n} - 3n\right) = - \infty\).
Remarque : Lorsque l'on tombe sur une des 4 formes indéterminées (« \(\infty - \infty\) », « \(0 \times \infty\) », « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » ou « \(\dfrac{0}{0}\) »), il est souvent possible de « lever l'indétermination » en transformant le terme général de la suite.
Exemple 3 :
Calculer les limites ci-dessous.
• \(\lim_{n \rightarrow + \infty}(n^{2} - n) = \infty - \infty\) donc \(FI\). On factorise :
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}(n^{2} - n) = \lim_{n \rightarrow + \infty} n(n - 1)\)
\(= (+ \infty) \times (+ \infty) = + \infty\)
• \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{1}{n^{3}} \times n^{2} = 0 \times (+ \infty)\) donc \(FI\). On simplifie :
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{1}{n^{3}} \times n^{2} = \lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{n^{2}}{n^{3}}\)
\(= \lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{1}{n} = 0\)
• \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{4n + 5}{2n - 3} = \dfrac{\infty}{\infty}\) donc \(FI\). On factorise numérateur et dénominateur : \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{4n + 5}{2n - 3}\)
\(= \lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{n\left(4 + \dfrac{5}{n}\right)}{n\left(2 - \dfrac{3}{n}\right)} = \lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{4 + \dfrac{5}{n}}{2 - \dfrac{3}{n}}\)
Or, \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(4 + \dfrac{5}{n}\right) = 4\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(2 - \dfrac{3}{n}\right) = 2\) donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{4n + 5}{2n - 3} = \dfrac{4}{2} = 2\).
• \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{\dfrac{1}{n^{2} + 1}}{\dfrac{1}{n - 3}} = \dfrac{0}{0}\) donc \(FI\) : \(\dfrac{\dfrac{1}{n^{2} + 1}}{\dfrac{1}{n - 3}} = \dfrac{1}{n^{2} + 1} \times \dfrac{n - 3}{1}\)
\(= \dfrac{n - 3}{n^{2} + 1} = \dfrac{n\left(1 - \dfrac{3}{n}\right)}{n\left(n + \dfrac{1}{n}\right)} = \dfrac{1 - \dfrac{3}{n}}{n + \dfrac{1}{n}}\)
Or, \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(1 - \dfrac{3}{n}\right) = 1\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(n + \dfrac{1}{n}\right) = + \infty\) donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{\dfrac{1}{n^{2} + 1}}{\dfrac{1}{n - 3}} = 0\).
3 – Théorèmes de comparaison
Propriété 3 : On considère deux suites \((u_{n})\) et \((v_{n})\) telles que, à partir d'un certain rang, \(u_{n} \leq v_{n}\).
(1) Si \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = + \infty\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{v_{n}} = + \infty\).
(2) Si \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{v_{n}} = - \infty\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = - \infty\).
(3) Si \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = L\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{v_{n}} = L'\) avec \(L\) et \(L'\) deux nombres réels alors on a \(L \leq L'\).
(1) Si \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = + \infty\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{v_{n}} = + \infty\).
(2) Si \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{v_{n}} = - \infty\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = - \infty\).
(3) Si \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = L\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{v_{n}} = L'\) avec \(L\) et \(L'\) deux nombres réels alors on a \(L \leq L'\).
Remarque : En particulier, si une suite convergente \((u_{n})\) est majorée par un réel \(M\), c'est-à-dire que pour tout rang \(n\), \(u_{n} < M\), alors sa limite \(L\) est inférieure ou égale à \(M\).
Exemple 4 :
Pour tout \(n \geq 0\), on a \(0 < \dfrac{n}{n + 1} < 1\) donc si la limite existe on a \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{n}{n + 1} \in [0 ; 1]\).
Exemple 5 :
Déterminer \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\sqrt{n^{2} + 1}\).
Pour tout \(n \geq 0\), on a \(n^{2} + 1 > n^{2}\), d'où \(\sqrt{n^{2} + 1} > \sqrt{n^{2}} = n\).
Or \(\lim_{n \rightarrow + \infty} n = + \infty\), donc \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\sqrt{n^{2} + 1} = + \infty\).
Propriété 4 (Théorème des gendarmes) : On considère trois suites \((u_{n})\), \((v_{n})\) et \((w_{n})\) telles que, à partir d'un certain rang, \(u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}\).
Si \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = L\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{w_{n}} = L\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{v_{n}} = L\).
Si \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = L\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{w_{n}} = L\) alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{v_{n}} = L\).
Remarque : Cette propriété est appelée le théorème des gendarmes car la suite \((v_{n})\) est comme « encadrée » par deux gendarmes, les suites \((u_{n})\) et \((w_{n})\), qui en convergeant tous deux vers la limite \(L\), ne laissent pas d'autre choix à la suite \((v_{n})\) que de converger aussi vers \(L\).
Exemple 6 :
Déterminer la limite de la suite \((v_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n\), par \(v_{n} = \dfrac{2 \times (-1)^{n}}{n^2}\).
Pour tout entier naturel \(n\), on a \(-1 \leq (-1)^{n} \leq 1\).
En multipliant par \(2\) l'inégalité précédente on obtient, \(-2 \leq 2 \times (-1)^{n} \leq 2\).
Puis en divisant par \(n^2\) qui est positif on obtient
\(\dfrac{-2}{n^{2}} \leq \dfrac{2 \times (-1)^{n}}{n^{2}} \leq \dfrac{2}{n^{2}}\).
Or, \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{-2}{n^{2}} = 0\) et \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{2}{n^{2}} = 0\), donc d'après le théorème des gendarmes \(\lim_{n \rightarrow + \infty} v_{n} = 0\).
