1 – Limite infinie
Définition 1 :
• On dit que la suite \((u_{n})\) a pour limite \(+ \infty\), si pour tout nombre réel \(A\) aussi grand que l'on veut,
il existe un rang à partir duquel, tous les termes sont supérieurs à \(A\). On note alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = + \infty\).
• On dit que la suite \((u_{n})\) a pour limite \(- \infty\), si pour tout nombre réel \(A\) aussi grand que l'on veut,
il existe un rang à partir duquel, tous les termes sont inférieurs à \(- A\). On note alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = - \infty\).
• On dit que la suite \((u_{n})\) a pour limite \(+ \infty\), si pour tout nombre réel \(A\) aussi grand que l'on veut,
il existe un rang à partir duquel, tous les termes sont supérieurs à \(A\). On note alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = + \infty\).
• On dit que la suite \((u_{n})\) a pour limite \(- \infty\), si pour tout nombre réel \(A\) aussi grand que l'on veut,
il existe un rang à partir duquel, tous les termes sont inférieurs à \(- A\). On note alors \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = - \infty\).
Vocabulaire : On dit dans ce cas que la suite « tend vers \(+ \infty\) ou \(- \infty\) ».
Explication : Dire qu'une suite tend vers l'infini signifie que les termes de la suite dépassent, à partir d'un certain rang, n'importe quelle valeur \(A\) fixé à l'avance.
Exemple 1 :
Soit \((u_{n})\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_{n} = n^2\).
1) Calculer les premiers termes de la suite \((u_{n})\).
| \(n\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_{n}\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) | \(36\) | \(49\) | \(64\) | \(81\) | \(100\) |
2) Dans le repère ci-contre, représenter la suite \((u_{n})\).
Les termes de la suite sont de plus en plus grands, aussi grand que l'on veut, en prenant un rang suffisamment grand. La limite de la suite est donc \(+ \infty\) : \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = + \infty\).
4) Dans le tableur, quelle formule doit-on entrer dans la cellule \(B2\), pour calculer les termes de la suite \(u_{n}\) à l'aide du recopiage automatique ?
5) Déterminer le rang à partir duquel tous les termes sont :
• Supérieur à \(A = 100\) : \(n = 10\)
• Supérieur à \(A = 1\,000\) : \(n = 32\)
• Supérieur à \(A = 10\,000\) : \(n = 100\)
• Supérieur à \(A = 100\,000\) : \(n = 317\)
6) Compléter puis exécuter l'algorithme suivant afin que celui-ci affiche le rang à partir duquel tous les termes de la suite seront supérieurs à \(A = 100\,000\).
| Algorithme | Exécution |
|---|---|
|
Variables : \(n,u\)
\(n \leftarrow 0\) \(u \leftarrow 0\) Tant que \(u < 100\,000\) Faire \(n \leftarrow n + 1\) \(u \leftarrow n^2\) Fin Tant que Afficher \(n\) |
\(n = 0\)
\(u = 0\) \(u < 100\,000\) \(n = 1\), \(u = 1\) \(u < 100\,000\) ... \(n = 317\), \(u = 100\,489\) \(u \geq 100\,000\) Afficher « \(317\) » |
2 – Limite finie
Définition 2 : Soit \(l\) un nombre réel. On dit que la suite \((u_{n})\) a pour limite \(l\), si pour tout nombre réel \(\varepsilon > 0\) aussi petit que l'on veut, il existe un rang à partir duquel, tous les termes sont à une distance de \(l\) inférieure à \(\varepsilon\). Dans ce cas, on note \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = l\).
Remarque : Dire que la distance entre \(u_{n}\) et \(l\) est inférieure à \(\varepsilon\) s'écrit \(\left| u_{n} - l \right| < \varepsilon\).
(\(|x|\) désigne la valeur absolue de \(x\) :
\(|x| = \begin{cases} x \text{ si } x \geq 0 \\ -x \text{ si } x < 0 \end{cases}\))
(\(|x|\) désigne la valeur absolue de \(x\) :
\(|x| = \begin{cases} x \text{ si } x \geq 0 \\ -x \text{ si } x < 0 \end{cases}\))
Vocabulaire : On dit dans ce cas que la suite « tend vers \(l\) ».
Explication : Dire qu'une suite tend vers \(l\) signifie, qu'à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent aussi proche que l'on veut de \(l\), à une distance inférieure à n'importe quel écart \(\varepsilon\) fixé à l'avance.
Exemple 2 :
Soit \((u_{n})\) la suite définie pour tout entier naturel \(n \geq 1\) par \(u_{n} = \dfrac{4n - 1}{2n}\).
1) A l'aide de la calculatrice, calculer les premiers termes de la suite \((u_{n})\).
| \(n\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_{n}\) | \(1{,}5\) | \(1{,}75\) | \(1{,}83\) | \(1{,}87\) | \(1{,}9\) | \(1{,}91\) | \(1{,}92\) | \(1{,}93\) | \(1{,}94\) | \(1{,}95\) |
2) Dans le repère ci-contre, représenter la suite \((u_{n})\).
Les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de « \(2\) », aussi proche que l'on veut, en prenant un rang suffisamment grand. La limite de la suite est donc \(2\) : \(\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n}} = 2\).
4) Dans le tableur, quelle formule doit-on entrer dans la cellule \(B2\), pour calculer les termes de la suite \(u_{n}\) à l'aide du recopiage automatique ?
5) Déterminer le rang à partir duquel tous les termes sont distants de la limite de :
• Moins de \(\varepsilon = \dfrac{1}{10}\) : \(n = 6\)
• Moins de \(\varepsilon = \dfrac{1}{100}\) : \(n = 51\)
6) Calculer la distance entre \(u_{46}\) et sa limite (arrondie à \(10^{-4}\) près) : \(\left| u_{46} - 2 \right| \approx |1{,}9891 - 2|\)
\(= |- 0{,}0109| = 0{,}0109\)
7) Compléter puis exécuter l'algorithme suivant afin que celui-ci affiche le rang à partir duquel tous les termes de la suite seront distants de moins de \(\varepsilon = \dfrac{1}{100}\) de la limite.
| Algorithme | Exécution |
|---|---|
|
Variables : \(n,u\)
\(n \leftarrow 1\) \(u \leftarrow 1{,}5\) Tant que \(|u - 2| \geq 0{,}01\) Faire \(n \leftarrow n + 1\) \(u \leftarrow \dfrac{4n - 1}{2n}\) Fin Tant que Afficher \(n\) |
\(n = 1\), \(u = 1{,}5\)
\(|1{,}5 - 2| = 0{,}5 \geq 0{,}01\) \(n = 2\), \(u = 1{,}75\) \(|1{,}75 - 2| = 0{,}25 \geq 0{,}01\) ... \(n = 51\), \(u \approx 1{,}9901\) \(|1{,}9901 - 2| = 0{,}0099 < 0{,}01\) Afficher « \(51\) » |
