1 – Limite en l'infini
Définition 1 : On dit qu'une fonction \(f\) a pour limite \(\pm \infty\) en \(\pm \infty\), si \(f(x)\) prend des valeurs (positives ou négatives) aussi grandes que l'on veut, dès que \(x\) prend des valeurs (positives ou négatives) assez grandes.
Notation : On dit dans ce cas que la fonction « tend vers \(\pm \infty\) en \(\pm \infty\) » et on note \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}{f(x)} = \pm \infty\).
Remarque : Lorsque \(x \rightarrow + \infty\) on regarde « vers la droite » ; lorsque \(x \rightarrow - \infty\) « vers la gauche » du repère. Lorsque \(f(x) \rightarrow + \infty\) la courbe va « vers le haut » ; lorsque \(f(x) \rightarrow - \infty\) la courbe va « vers le bas » du repère.
Exemple 1 :
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^{3} - 3x + 1\) dont on a tracé la courbe ci-dessous.
1) Quel est le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) « tend » vers \(+ \infty\) ? vers \(- \infty\) ?
Lorsque \(x \rightarrow + \infty\), \(f(x)\) devient de plus en plus grand : \(\lim_{x \rightarrow + \infty}{f(x)} = + \infty\).
Lorsque \(x \rightarrow - \infty\), \(f(x)\) devient de plus en plus petit : \(\lim_{x \rightarrow - \infty}{f(x)} = - \infty\).
• \(A = 10\,000\) : Pour \(x \geq 22\)
• \(A = 100\,000\) : Pour \(x \geq 47\)
Définition 2 : Soit \(l\) un nombre réel. On dit qu'une fonction \(f\) a pour limite \(l\) en \(\pm \infty\), si \(f(x)\) prend des valeurs aussi proches que l'on veut de \(l\), dès que \(x\) prend des valeurs (positives ou négatives) assez grandes.
Notation : On dit dans ce cas que la fonction « tend vers \(l\) en \(\pm \infty\) » et on note \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}{f(x)} = l\).
Remarque : Lorsque \(f(x) \rightarrow l\) en \(\pm \infty\), la courbe de la fonction se rapproche de la droite d'équation \(y = l\).
On dit que cette droite est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+ \infty\) ou \(- \infty\).
On dit que cette droite est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+ \infty\) ou \(- \infty\).
Exemple 2 :
Soit la fonction \(f\) définie pour \(x \neq -3\) par \(f(x) = \dfrac{2x + 7}{x + 3}\) dont on a tracé la courbe ci-dessous.
1) Quel est le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(+ \infty\) ou \(- \infty\) ?
Lorsque \(x \rightarrow \pm \infty\), \(f(x)\) devient de plus en plus proche de la valeur \(2\).
La droite d'équation \(y = 2\) est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\)
en \(+ \infty\) et \(- \infty\) : On a donc \(\lim_{x \rightarrow + \infty}{f(x)} = 2\) et \(\lim_{x \rightarrow - \infty}{f(x)} = 2\).
• \(\varepsilon = 0{,}01\) : Pour \(x \geq 98\)
• \(\varepsilon = 0{,}001\) : Pour \(x \geq 1050\)
2 – Limite en un point
Définition 3 : Soit \(a\) un nombre réel. On dit qu'une fonction \(f\) a pour limite \(\pm \infty\) en \(a\), si \(f(x)\) prend des valeurs (positives ou négatives) aussi grandes que l'on veut, dès que \(x\) se rapproche suffisamment de \(a\).
Notation : On dit dans ce cas que la fonction « tend vers \(\pm \infty\) en \(a\) » et on note \(\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = \pm \infty\).
Cependant, la limite d'une fonction en un point n'est pas toujours unique. Dans ce cas on doit préciser :
• Si on approche de \(a\) par valeurs inférieures (par la gauche) : \(\lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x)}\).
• Si on approche de \(a\) par valeurs supérieures (par la droite) : \(\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)}\).
Cependant, la limite d'une fonction en un point n'est pas toujours unique. Dans ce cas on doit préciser :
• Si on approche de \(a\) par valeurs inférieures (par la gauche) : \(\lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x)}\).
• Si on approche de \(a\) par valeurs supérieures (par la droite) : \(\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)}\).
Remarque : Lorsque \(f(x) \rightarrow \pm \infty\) en \(a\), la courbe de la fonction se rapproche de la droite d'équation \(x = a\).
On dit que cette droite est une asymptote verticale à la courbe de \(f\). La valeur \(a\) est une « valeur interdite ».
On dit que cette droite est une asymptote verticale à la courbe de \(f\). La valeur \(a\) est une « valeur interdite ».
Exemple 3 :
On reprend la fonction \(f\) définie pour \(x \neq -3\) par \(f(x) = \dfrac{2x + 7}{x + 3}\).
1) Quel est le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(-3\) ?
La droite d'équation \(x = -3\) est une asymptote verticale à la courbe de \(f\).
On a : \(\lim_{x \rightarrow {-3}^{-}}{f(x)} = - \infty\) et \(\lim_{x \rightarrow {-3}^{+}}{f(x)} = + \infty\).
• > \(1000\) : \(\varepsilon = 0{,}001\) à droite de \(-3\)
• < \(-90\) : \(\varepsilon = 0{,}01\) à gauche de \(-3\)
