1 – La notion de continuité
Intuitivement, une fonction continue est une fonction dont on peut tracer la courbe « sans lever le crayon ». Pour formaliser mathématiquement cette idée de continuité nous allons utiliser la notion de limite :
Définition 1 : Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) un réel de \(I\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = f(a)\).
Remarque : Dire qu'une fonction est continue en \(a\) signifie d'une part que la limite \(\lim_{x \rightarrow a}{f(x)}\) existe, c'est-à-dire que les limites à gauche et à droite coïncident :
\(\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)} = \lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x)}\), et d'autre part qu'elles sont toutes deux égales à l'image de \(a\) par \(f\).
\(\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)} = \lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x)}\), et d'autre part qu'elles sont toutes deux égales à l'image de \(a\) par \(f\).
Exemple 1 :
Les fonctions suivantes sont-elles continues en \(1\) ?
La fonction est continue en \(1\) :
On a, \(\lim_{x \rightarrow 1^{-}}{f(x)}\)
\(= \lim_{x \rightarrow 1^{+}}{f(x)}\)
Donc \(\lim_{x \rightarrow 1}{f(x)} = f(1) = -1\)
La fonction n'est pas continue en \(1\) :
\(\lim_{x \rightarrow 1^{-}}{f(x)} = 0{,}8\) et \(\lim_{x \rightarrow 1^{+}}{f(x)} = 3\)
Donc \(\lim_{x \rightarrow 1}{f(x)}\) n'est pas définie
La fonction n'est pas continue en \(1\) :
On a, \(\lim_{x \rightarrow 1^{-}}{f(x)} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}{f(x)}\)
\(= + \infty\)
Mais \(\lim_{x \rightarrow 1}{f(x)} \neq f(1)\) qui n'existe pas.
Définition 2 : On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle \(I\), si elle est continue en tout réel \(a\) de \(I\).
Exemple 2 :
La fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \(I = [-3 ; 4]\) ce qui n'est pas le cas de \(g\) et \(h\).
Remarque : Les fonctions « usuelles » sont continues sur leur ensemble de définition.
2 – Le théorème des valeurs intermédiaires
Propriété 1 : Soient \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\) tels que \(a < b\).
Alors, pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe (au moins) un réel \(c\) de \([a ; b]\) tel que \(f(c) = k\).
Alors, pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe (au moins) un réel \(c\) de \([a ; b]\) tel que \(f(c) = k\).
Remarques :
• Le théorème des valeurs intermédiaires (\(T.V.I.\)) nous dit en quelque sorte que pour une fonction continue, lorsque \(x\) varie entre \(a\) et \(b\), \(f(x)\) passe nécessairement par toutes les valeurs comprises entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
• L'équation \(f(x) = k\) admet alors une ou plusieurs solutions dans \([a ; b]\).
• Le théorème précédent fonctionne avec \(a = - \infty\) ou \(b = + \infty\) en remplaçant \(f(a)\) par \(\lim_{x \rightarrow - \infty}{f(x)}\) ou \(f(b)\) par \(\lim_{x \rightarrow + \infty}{f(x)}\).
\(f(c_{1}) = f(c_{2}) = f(c_{3}) = k\)
• Le théorème des valeurs intermédiaires (\(T.V.I.\)) nous dit en quelque sorte que pour une fonction continue, lorsque \(x\) varie entre \(a\) et \(b\), \(f(x)\) passe nécessairement par toutes les valeurs comprises entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
• L'équation \(f(x) = k\) admet alors une ou plusieurs solutions dans \([a ; b]\).
• Le théorème précédent fonctionne avec \(a = - \infty\) ou \(b = + \infty\) en remplaçant \(f(a)\) par \(\lim_{x \rightarrow - \infty}{f(x)}\) ou \(f(b)\) par \(\lim_{x \rightarrow + \infty}{f(x)}\).
\(f(c_{1}) = f(c_{2}) = f(c_{3}) = k\)
Exemple 3 :
On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(I = [-1 ; 3]\) par \(f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2\).
Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans l'intervalle \(I\).
On calcule \(f(-1) = (-1)^{3} - 3 \times (-1)^{2} + 2\)
\(= -1 - 3 + 2 = -2 < 0\).
Puis, \(f(3) = 3^{3} - 3 \times 3^{2} + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 > 0\).
Or, \(f\) est continue sur \([-1 ; 3]\) car les fonctions polynomiales sont continues sur \(\mathbb{R}\).
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel \(c \in [-1 ; 3]\) tel que \(f(c) = 0\).
Vocabulaire : Une fonction est dite (strictement) monotone sur un intervalle si elle n'a qu'un seul sens de variation sur cet intervalle : soit (strictement) croissante, soit (strictement) décroissante.
Propriété 2 : Soient \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\) et \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\) tels que \(a < b\).
Alors, pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un unique réel \(c\) de \([a ; b]\) tel que \(f(c) = k\).
Alors, pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un unique réel \(c\) de \([a ; b]\) tel que \(f(c) = k\).
Remarque : La stricte monotonie de la fonction \(f\) entraîne l'unicité de la solution de l'équation \(f(x) = k\).
Exemple 4 :
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \text{e}^{0{,}1x}\) sur l'intervalle \([0 ; 10]\).
1) Montrer que l'équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l'intervalle \([0 ; 10]\).
\(f\) est continue sur \([0 ; 10]\) comme composée de deux fonctions continues : \(x \mapsto 0{,}1x\) et \(x \mapsto \text{e}^{x}\).
\(f\) est strictement croissante sur \([0 ; 10]\) car elle est de la forme \(x \mapsto \text{e}^{kx}\) avec \(k > 0\).
De plus, \(f(0) = \text{e}^{0{,}1 \times 0} = \text{e}^{0} = 1 < 2\) et
\(f(10) = \text{e}^{0{,}1 \times 10} = \text{e}^{1} = \text{e} \approx 2{,}71 > 2\).
D'après le \(T.V.I.\), il existe un unique réel \(\alpha \in [0 ; 10]\), tel que \(f(\alpha) = 2\).
2) A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement à \(0{,}01\) près de la valeur \(\alpha\).
On encadre progressivement \(\alpha\) en changeant le pas et la valeur du début du tableau.
\(Pas = 1\) ; \(Début = 0\)
\(\alpha \in [6 ; 7]\)
\(Pas = 0{,}1\) ; \(Début = 6\)
\(\alpha \in [6{,}9 ; 7]\)
\(Pas = 0{,}01\) ; \(Début = 6{,}9\)
\(\alpha \in [6{,}93 ; 6{,}94]\)
Exemple 5 :
On considère une fonction \(f\) définie et continue sur \(\mathbb{R}\) dont le tableau de variation est le suivant.
2) Déterminer le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = 1\).
En appliquant le \(T.V.I.\) sur les \(3\) intervalles \(]-\infty ; -4]\), \([-4 ; 7]\) et \([7 ; +\infty[\) où la fonction \(f\) est continue et strictement monotone, on obtient une unique solution dans chacun de ces intervalles.
3) Combien de fois la courbe de \(f\) coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
Seulement deux fois, car pour \(x \in [7 ; +\infty[\) on a \(f(x) > 0\).
\(f(x) = 0\) admet une solution dans \(]-\infty ; -4]\) et dans \([-4 ; 7]\).
