1 – Introduction : Qu'est ce que la dérivée ?
• La pente d'une droite est constante : Elle est donnée par son coefficient directeur.
• La pente d'une courbe, elle, évolue : Elle n'est pas la même en chaque point. On a donc besoin d'une fonction pour représenter cette pente pour chaque valeur de \(x\) : Cette fonction c'est la dérivée \(f'\) de \(f\).
• Pour définir la pente d'une courbe en un point, on « zoome » la courbe à l'infini qui, « au voisinage » du point considéré, peut alors être assimilée à une droite, dont on pourra prendre la pente.
• Cette droite, prolongée au-delà du voisinage du point en question, correspond alors à ce que l'on appelle la tangente à la courbe de \(f\) en ce point : En résumé donc, \(f'(x) = \text{pente de la tangente à la courbe en } x\).
• La pente d'une courbe, elle, évolue : Elle n'est pas la même en chaque point. On a donc besoin d'une fonction pour représenter cette pente pour chaque valeur de \(x\) : Cette fonction c'est la dérivée \(f'\) de \(f\).
• Pour définir la pente d'une courbe en un point, on « zoome » la courbe à l'infini qui, « au voisinage » du point considéré, peut alors être assimilée à une droite, dont on pourra prendre la pente.
• Cette droite, prolongée au-delà du voisinage du point en question, correspond alors à ce que l'on appelle la tangente à la courbe de \(f\) en ce point : En résumé donc, \(f'(x) = \text{pente de la tangente à la courbe en } x\).
Construction mathématique : On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et on s'intéresse à la pente de sa courbe au niveau d'un point \(A\) d'abscisse \(a\).
Etape 1 : Choix d'un pas et construction de la sécante.
• On choisit un pas \(h > 0\).
• A partir du point \(A\), on avance de ce pas \(h\) sur l'axe des abscisses. On obtient alors le point \(M\) de la courbe de \(f\) d'abscisse \(a + h\).
• On peut donc considérer la droite \((AM)\) appelée la sécante.
• On choisit un pas \(h > 0\).
• A partir du point \(A\), on avance de ce pas \(h\) sur l'axe des abscisses. On obtient alors le point \(M\) de la courbe de \(f\) d'abscisse \(a + h\).
• On peut donc considérer la droite \((AM)\) appelée la sécante.
Etape 2 : Taux d'accroissement entre \(A\) et \(M\) :
• On s'intéresse ensuite au taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) : \[\tau = \dfrac{y_{M} - y_{A}}{x_{M} - x_{A}} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{(a + h) - a} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\] • C'est le coefficient directeur de la sécante \((AM)\).
• On s'intéresse ensuite au taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) : \[\tau = \dfrac{y_{M} - y_{A}}{x_{M} - x_{A}} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{(a + h) - a} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\] • C'est le coefficient directeur de la sécante \((AM)\).
Etape 3 : On fait tendre \(h\) vers \(0\) : \(h \rightarrow 0\)
• Le point \(M\) se rapproche de \(A\), et la sécante \((AM)\) se rapproche d'une « position limite » appelée tangente à la courbe de \(f\) en \(a\).
• Le taux d'accroissement se rapproche donc d'une valeur limite qui coïncide avec la pente de la tangente : C'est cette valeur limite qui correspond au nombre dérivé \(f'(a)\).
• Le point \(M\) se rapproche de \(A\), et la sécante \((AM)\) se rapproche d'une « position limite » appelée tangente à la courbe de \(f\) en \(a\).
• Le taux d'accroissement se rapproche donc d'une valeur limite qui coïncide avec la pente de la tangente : C'est cette valeur limite qui correspond au nombre dérivé \(f'(a)\).
2 – Nombre dérivé
Définition 1 : On dit que \(f\) est dérivable en \(a\), lorsque le taux d'accroissement \(\tau = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\) tend vers un nombre réel lorsque \(h\) tend vers \(0\). Ce nombre est appelé nombre dérivé de \(f\) en \(a\) et est noté \(f'(a)\).
On écrit alors
\(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\).
On écrit alors
\(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\).
Définition 2 : On appelle tangente à la courbe de \(f\) en \(a\) et on note \(T_{a}\) la position limite de la sécante \((AM)\) lorsque \(M\) se rapproche de \(A\).
Propriété 1 : Lorsque \(f\) est dérivable en \(a\), \(f'(a)\) coïncide avec le coefficient directeur de la tangente \(T_{a}\).
Propriété 2 : Lorsque \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente \(T_{a}\) a pour équation
\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]
\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction carré et \(A\) le point de la courbe de \(f\) d'abscisse \(a = 1\).
• \(f\) est dérivable en \(1\) :
\[\tau = \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \dfrac{(1 + h)^{2} - 1^2}{h} = \dfrac{1 + 2h + h^{2} - 1}{h} = \dfrac{h(2 + h)}{h} = 2 + h\] et \(\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\ 2 + h = 2\). On a donc \(f'(1) = 2\).
• La tangente \(T_{1}\) est tracée : C'est la position limite de la sécante \((AM)\).
• Son coefficient directeur est bien égal à \(2\) : \(f'(1) = \text{coefficient directeur de } T_{1}\).
• \(T_{1}\) a pour équation \(y = f'(1)(x - 1) + f(1)\) avec \(f'(1) = 2\) et \(f(1) = 1^{2} = 1\)
c'est-à-dire \(y = 2(x - 1) + 1\) soit \(y = 2x - 2 + 1\) d'où \(y = 2x - 1\).
3 – Fonction dérivée
Définition 3 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) (i.e. pour tout \(a\) de \(I\)). On appelle fonction dérivée de \(f\), la fonction notée \(f'\) définie sur \(I\), qui à chaque nombre \(x\) de \(I\), associe le nombre dérivé \(f'(x)\).
Propriété 3 : Si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) alors \(f\) est continue sur \(I\) (La réciproque est fausse).
Propriété 4 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
• La fonction \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est positive sur \(I\).
• La fonction \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est négative sur \(I\).
• \(f\) admet un extremum local en \(a\) si et seulement si la dérivée \(f'\) s'annule en \(a\) en changeant de signe.
• La fonction \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est positive sur \(I\).
• La fonction \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est négative sur \(I\).
• \(f\) admet un extremum local en \(a\) si et seulement si la dérivée \(f'\) s'annule en \(a\) en changeant de signe.
Exemple 2 :
Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\), par \(f(x) = x^{3} - 1{,}5x^{2} - 6x + 2\).
On commence par dériver la fonction \(f\) :
\[f'(x) = 3x^{2} - 1{,}5 \times 2x - 6 = 3x^{2} - 3x - 6\] \(f'\) est un polynôme du second degré. Pour avoir son tableau de signe on doit d'abord trouver ses racines.
\[\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 \times 3 \times (-6) = 81\] \(x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 - 9}{6} = -1\)
\(x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 + 9}{6} = 2\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | Croissante jusqu'à \(5{,}5\) en \(x=-1\), puis décroissante jusqu'à \(-8\) en \(x=2\), puis croissante. | ||||||
Remarque : La dérivation permet de résoudre des problèmes d'optimisation.
