1 – Dérivées des fonctions usuelles
Propriété : Tableau des dérivées des fonctions usuelles :
| Fonction \(f\) | Fonction dérivée \(f'\) | Intervalle de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(f(x) = c\) (constante) | \(f'(x) = 0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x\) | \(f'(x) = 1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = ax + b\) | \(f'(x) = a\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^2\) | \(f'(x) = 2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^{3}\) | \(f'(x) = 3x^2\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^{n}\) (avec \(n\) entier, \(n \geq 2\)) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) (ou \(\mathbb{R}^{*}\)) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0\;;\;+\infty[\) |
| \(f(x) = |x|\) | \(f'(x) = 1\) si \(x > 0\) \(f'(x) = -1\) si \(x < 0\) |
\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) (ou \(\mathbb{R}^{*}\)) |
| \(f(x) = \text{e}^{x}\) | \(f'(x) = \text{e}^{x}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = \cos(x)\) | \(f'(x) = -\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = \sin(x)\) | \(f'(x) = \cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
Remarques :
• La fonction inverse n'est pas dérivable en \(0\), car elle n'est pas définie en ce nombre.
• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en \(0\), la tangente \(T_{0}\) à sa courbe en \(0\) est verticale, et ne possède donc pas de coefficient directeur.
• La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\), car elle n'admet pas de tangente \(T_{0}\).
• La fonction inverse n'est pas dérivable en \(0\), car elle n'est pas définie en ce nombre.
• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en \(0\), la tangente \(T_{0}\) à sa courbe en \(0\) est verticale, et ne possède donc pas de coefficient directeur.
• La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\), car elle n'admet pas de tangente \(T_{0}\).
2 – Dérivées et opérations
On considère deux fonctions \(u\) et \(v\) dérivables sur un intervalle \(I\) et \(k\) une constante réelle.
Propriété : Tableau des dérivées et opérations :
| Fonction \(f\) | Fonction dérivée \(f'\) | Intervalle de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(f = u + v\) | \(f' = u' + v'\) | \(I\) |
| \(f = k \times u\) | \(f' = k \times u'\) | \(I\) |
| \(f = u \times v\) | \(f' = u'v + uv'\) | \(I\) |
| \(f = \dfrac{1}{v}\) | \(f' = -\dfrac{v'}{v^2}\) | Pour tout \(x\) de \(I\) tel que \(v(x) \neq 0\) |
| \(f = \dfrac{u}{v}\) | \(f' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}\) | Pour tout \(x\) de \(I\) tel que \(v(x) \neq 0\) |
3 – Dérivées et composées
Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) à valeurs dans un intervalle \(J\) et \(g\) une fonction définie sur \(J\).
Définition 1 : On appelle composée de \(g\) et \(u\), la fonction notée \(g \circ u\) définie pour tout \(x\) de \(I\) par :
\[g \circ u(x) = g(u(x))\]
Remarques :
• Une fonction composée est construite en imbriquant une fonction \(u\) dans une autre fonction \(g\).
• On a alors le schéma suivant qui donne les étapes de cette construction : \[g \circ u : I \overset{u}{\rightarrow} J \overset{g}{\rightarrow} \mathbb{R}\] \[x \mapsto u(x) \mapsto g(u(x))\] • Les fonctions \(g \circ u\) et \(u \circ g\) ne sont pas égales.
• Une fonction composée est construite en imbriquant une fonction \(u\) dans une autre fonction \(g\).
• On a alors le schéma suivant qui donne les étapes de cette construction : \[g \circ u : I \overset{u}{\rightarrow} J \overset{g}{\rightarrow} \mathbb{R}\] \[x \mapsto u(x) \mapsto g(u(x))\] • Les fonctions \(g \circ u\) et \(u \circ g\) ne sont pas égales.
Exemple 1 :
Soit \(u(x) = 3x + 5\) et \(g(x) = \text{e}^{x}\).
• \(g \circ u(x) = g(u(x)) = \text{e}^{3x + 5}\).
On a \(x \overset{u}{\rightarrow} 3x + 5 \overset{g}{\rightarrow} \text{e}^{3x + 5}\)
• \(u \circ g(x) = u(g(x)) = 3\text{e}^{x} + 5\).
On a \(x \overset{g}{\rightarrow} \text{e}^{x} \overset{u}{\rightarrow} 3\text{e}^{x} + 5\)
Propriété 1 : Si \(u\) est dérivable sur \(I\) et \(g\) est dérivable sur \(J\), alors la composée de \(g\) et \(u\) est dérivable sur \(I\) et on a pour tout \(x\) de \(I\) :
\[(g \circ u)'(x) = u'(x) \times g'(u(x))\]
\[(g \circ u)'(x) = u'(x) \times g'(u(x))\]
Remarque : On obtient alors un autre tableau avec de nouvelles formules, en appliquant la propriété précédente avec pour \(g\) les fonctions \(x \mapsto \text{e}^{x}\) ; \(x \mapsto x^2\) ; \(x \mapsto x^{n}\) ; \(x \mapsto \sqrt{x}\) ; \(x \mapsto \cos(x)\) et \(x \mapsto \sin(x)\).
Propriété : Tableau des dérivées de composées :
| Fonction \(f\) | Fonction dérivée \(f'\) | Intervalle de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(f = \text{e}^{u}\) | \(f' = u'\text{e}^{u}\) | \(I\) |
| \(f = u^2\) | \(f' = 2u'u\) | \(I\) |
| \(f = u^{n}\) | \(f' = u' \times nu^{n-1}\) | \(I\) |
| \(f = \sqrt{u}\) | \(f' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | Pour tout \(x\) de \(I\) tel que \(u(x) > 0\) |
| \(f = \cos(u)\) | \(f' = -u'\sin(u)\) | \(I\) |
| \(f = \sin(u)\) | \(f' = u'\cos(u)\) | \(I\) |
Exemple 2 :
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
• \(f(x) = \text{e}^{3 - 2x}\) : \(f = \text{e}^{u}\) avec \(u(x) = 3 - 2x\) et \(u'(x) = -2\) donc \(f'(x) = -2\text{e}^{3 - 2x}\).
• \(f(x) = \text{e}^{x^{2} + 3x + 5}\) : \(f = \text{e}^{u}\) avec \(u(x) = x^{2} + 3x + 5\) et \(u'(x) = 2x + 3\) donc \(f'(x) = (2x + 3)\text{e}^{x^2 + 3x + 5}\).
• \(f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}\) : \(f = \sqrt{u}\) avec \(u(x) = x^{2} + 1\) et \(u'(x) = 2x\) donc
\(f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\).
• \(f(x) = \cos^2(x)\) : \(f = u^2\) avec \(u(x) = \cos(x)\) et \(u'(x) = -\sin(x)\) donc \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x)\).
• \(f(x) = \cos(x^{2})\) : \(f = \cos(u)\) avec \(u(x) = x^2\) et \(u'(x) = 2x\) donc \(f'(x) = -2x\sin(x^2)\).
• \(f(x) = (2x + 1)^{3}\) : \(f = u^{3}\) avec \(u(x) = 2x + 1\) et \(u'(x) = 2\) donc \(f'(x) = 2 \times 3 \times (2x + 1)^{2}\)
d'où \(f'(x) = 6(2x + 1)^2\).
