1 – Fonctions convexes et concaves et point d'inflexion
Définition 1 : Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On note \(C_{f}\) sa courbe représentative.
• On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si pour tout point \(A\) et \(B\) de \(C_{f}\), sa courbe est située en-dessous de la sécante \([AB]\).
• On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si pour tout point \(A\) et \(B\) de \(C_{f}\), sa courbe est située au-dessus de la sécante \([AB]\).
![Illustration d'une fonction convexe : courbe en-dessous de la sécante [AB]](/static/zmaths/images/cours/tmc-a3-3-01.png)
![Illustration d'une fonction concave : courbe au-dessus de la sécante [AB]](/static/zmaths/images/cours/tmc-a3-3-02.png)
• On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si pour tout point \(A\) et \(B\) de \(C_{f}\), sa courbe est située en-dessous de la sécante \([AB]\).
• On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si pour tout point \(A\) et \(B\) de \(C_{f}\), sa courbe est située au-dessus de la sécante \([AB]\).
Vocabulaire : Etudier la convexité d'une fonction, c'est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.
Exemple 1 :
Déterminer la convexité des fonctions de références ci-dessous.
Fonction carré
Convexe sur \(\mathbb{R}\)
Fonction racine carrée
Concave sur \(\mathbb{R}\)
Fonction inverse
Concave sur \(]-\infty\;;0[\)
Convexe sur \(]0\;;\;+\infty[\)
Convexe sur \(]0\;;\;+\infty[\)
Fonction cube
Concave sur \(]-\infty\;;0[\)
Convexe sur \(]0\;;\;+\infty[\)
Convexe sur \(]0\;;\;+\infty[\)
Remarque : Les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves.
Définition 2 : Un point d'inflexion est un point de la courbe où s'opère un changement de convexité.
Exemple 2 :
L'origine du repère est un point d'inflexion pour la fonction cube.
2 – Convexité et tangente
Propriété 1 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). On note \(C_{f}\) sa courbe représentative.
• \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(C_{f}\) est située au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
• \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(C_{f}\) est située en-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
• \(f\) admet un point d'inflexion en \(A\) si \(C_{f}\) admet une tangente en \(A\) et qu'elle la traverse en ce point.
• \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(C_{f}\) est située au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
• \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(C_{f}\) est située en-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
• \(f\) admet un point d'inflexion en \(A\) si \(C_{f}\) admet une tangente en \(A\) et qu'elle la traverse en ce point.
3 – Convexité et dérivée
Définition 3 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) dont la dérivée \(f'\) est aussi dérivable sur \(I\).
On appelle dérivée seconde de \(f\) et on note \(f''\), la dérivée de la dérivée \(f'\) de \(f\).
On appelle dérivée seconde de \(f\) et on note \(f''\), la dérivée de la dérivée \(f'\) de \(f\).
Vocabulaire : On dit alors que la fonction \(f\) est deux-fois dérivable.
Exemple 3 :
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x^{2} + 5 + \text{e}^{x}\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables et on a \(f'(x) = 6x + \text{e}^{x}\).
\(f'\) est de nouveau dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée seconde est donnée par \(f''(x) = (f')'(x) = 6 + \text{e}^{x}\).
Propriété 2 : Soit \(f\) une fonction deux-fois dérivable sur un intervalle \(I\). On a les équivalences suivantes :
• \(f\) est convexe sur \(I\) \(\Leftrightarrow\) \(f'\) est croissante sur \(I\) \(\Leftrightarrow\) \(f''\) est positive sur \(I\).
• \(f\) est concave sur \(I\) \(\Leftrightarrow\) \(f'\) est décroissante sur \(I\) \(\Leftrightarrow\) \(f''\) est négative sur \(I\).
• \(f\) est convexe sur \(I\) \(\Leftrightarrow\) \(f'\) est croissante sur \(I\) \(\Leftrightarrow\) \(f''\) est positive sur \(I\).
• \(f\) est concave sur \(I\) \(\Leftrightarrow\) \(f'\) est décroissante sur \(I\) \(\Leftrightarrow\) \(f''\) est négative sur \(I\).
Remarque : Pour étudier la convexité d'une fonction \(f\), il suffit donc d'étudier le signe de sa dérivée seconde.
Exemple 4 :
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^{3} - x^{2} + x + 1\).
1. Calculer sa dérivée \(f'\) puis sa dérivée seconde \(f''\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a \(f'(x) = \dfrac{1}{3} \times 3x^{2} - 2x + 1 = x^{2} - 2x + 1\).
\(f'\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a \(f''(x) = 2x - 2\).
2. Etudier la convexité de la fonction \(f\).
\(f''\) est une fonction affine avec un coefficient directeur \(> 0\).
C'est une droite qui monte donc elle est d'abord « \(-\) » puis « \(+\) ».
\(f''(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x = 2\)
\(\Leftrightarrow x = 1\) donc \(f''\) s'annule en \(x = 1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f''\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| Convexité de \(f\) | Concave | Convexe |
Propriété 3 : Soit \(f\) une fonction deux-fois dérivable sur un intervalle \(I\). On a les équivalences suivantes :
\(f\) admet un point d'inflexion en \(a\) \(\Leftrightarrow\) \(f'\) change de variation en \(a\) \(\Leftrightarrow\) \(f''\) s'annule en \(a\) en changeant de signe.
\(f\) admet un point d'inflexion en \(a\) \(\Leftrightarrow\) \(f'\) change de variation en \(a\) \(\Leftrightarrow\) \(f''\) s'annule en \(a\) en changeant de signe.
Exemple 4 (Suite) :
3. Déterminer le(s) point(s) d'inflexion de la fonction \(f\).
La fonction \(f\) admet un point d'inflexion en \(x = 1\) car \(f''(1) = 0\) en changeant de signe.
Remarque : La condition seule \(f''\) s'annule en \(a\) n'est pas suffisante pour garantir un point d'inflexion.
Contre-Exemple :
\(f(x) = x^{4}\).
On a \(f'(x) = 4x^{3}\) et \(f''(x) = 12x^2\).
\(f''\) s'annule en \(0\) mais reste toujours positive.
\(f\) n'admet pas de point d'inflexion en \(0\).
