1 – Définition du logarithme népérien
• La fonction exponentielle \(x \mapsto \text{e}^{x}\) est continue, strictement monotone sur \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(]0\;;\;+\infty[\).
• D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel positif \(a > 0\), l'équation \(\text{e}^{x} = a\) admet donc une unique solution dans \(\mathbb{R}\).
• Cette solution est appelée le logarithme népérien de \(a\) et est notée \(\ln(a)\).
• D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel positif \(a > 0\), l'équation \(\text{e}^{x} = a\) admet donc une unique solution dans \(\mathbb{R}\).
• Cette solution est appelée le logarithme népérien de \(a\) et est notée \(\ln(a)\).
Définition 1 :
• On appelle logarithme népérien du nombre \(a > 0\) et on note \(\ln a\), l'unique solution de l'équation \(\text{e}^{x} = a\).
• La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction \(\ln : ]0\;;\;+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}\) ; \(x \mapsto \ln x\).
• On appelle logarithme népérien du nombre \(a > 0\) et on note \(\ln a\), l'unique solution de l'équation \(\text{e}^{x} = a\).
• La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction \(\ln : ]0\;;\;+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}\) ; \(x \mapsto \ln x\).
Exemple 1 :
Le logarithme népérien \(\ln 2\) est l'unique solution de l'équation \(\text{e}^{x} = 2\). A l'aide de la calculatrice on peut donner une valeur approchée à \(0{,}01\) près de ce nombre : \(\ln 2 \approx 0{,}69\).
Remarque : En physique-chimie on utilise souvent le logarithme décimal \(\log\) à ne pas confondre avec \(\ln\) :
\(\log(a)\) désigne l'unique solution de l'équation \(10^{x} = a\). On a la formule : \(\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}\).
\(\log(a)\) désigne l'unique solution de l'équation \(10^{x} = a\). On a la formule : \(\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}\).
2 – Fonction réciproque de la fonction exponentielle
• La fonction réciproque d'une fonction \(f : I \longrightarrow J\) ; \(x \longmapsto y\) est la fonction \(f^{-1} : J \longrightarrow I\) ; \(y \longmapsto x\).
Cette fonction existe à condition que tout nombre \(y\) de \(J\) possède un unique antécédent \(x\) par \(f\).
• Voici quelques exemples de fonctions réciproques l'une de l'autre :
. La fonction carré de \([0\;;\;+\infty[\) vers \([0\;;\;+\infty[\) et la fonction racine carrée de \([0\;;\;+\infty[\) vers \([0\;;\;+\infty[\).
. La fonction cosinus de \([0\;;\;\pi]\) vers \([-1\;;\;1]\) et la fonction \(\arccos\) de \([-1\;;\;1]\) vers \([0\;;\;\pi]\).
Cette fonction existe à condition que tout nombre \(y\) de \(J\) possède un unique antécédent \(x\) par \(f\).
• Voici quelques exemples de fonctions réciproques l'une de l'autre :
. La fonction carré de \([0\;;\;+\infty[\) vers \([0\;;\;+\infty[\) et la fonction racine carrée de \([0\;;\;+\infty[\) vers \([0\;;\;+\infty[\).
. La fonction cosinus de \([0\;;\;\pi]\) vers \([-1\;;\;1]\) et la fonction \(\arccos\) de \([-1\;;\;1]\) vers \([0\;;\;\pi]\).
Propriété 1 : Les fonctions \(\exp\) et \(\ln\) sont réciproques l'une de l'autre :
• Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), et pour tout \(y > 0\), \(\text{e}^{x} = y \Leftrightarrow x = \ln(y)\).
• Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\ln(\text{e}^{x}) = x\).
• Pour \(x > 0\), on a \(\text{e}^{\ln(x)} = x\).
• Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), et pour tout \(y > 0\), \(\text{e}^{x} = y \Leftrightarrow x = \ln(y)\).
• Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\ln(\text{e}^{x}) = x\).
• Pour \(x > 0\), on a \(\text{e}^{\ln(x)} = x\).
Conséquences : \(\ln(1) = 0\) car \(\text{e}^{0} = 1\) ; \(\ln(\text{e}) = 1\) car \(\text{e}^{1} = \text{e}\) ;
\(\ln\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right) = \ln\left(\text{e}^{-1}\right) = -1\).
\(\ln\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right) = \ln\left(\text{e}^{-1}\right) = -1\).
Propriété 2 : Les courbes des fonctions \(\exp\) et \(\ln\) sont symétriques par rapport à l'axe \(y = x\).
