1 – Etude de la fonction \(f(x) = \ln(x)\)
Propriété 1 : La fonction \(f(x) = \ln(x)\) est continue et dérivable sur son ensemble de définition \(]0\;;\;+\infty[\).
Pour tout \(x > 0\), on a \(f'(x) = \dfrac{1}{x}\).
Pour tout \(x > 0\), on a \(f'(x) = \dfrac{1}{x}\).
Tableau de valeurs : A l'aide de la calculatrice on peut compléter le tableau suivant (arrondir à \(10^{-2}\) près).
| \(x\) | \(0{,}1\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(\text{e}\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln(x)\) | \(-2{,}3\) | \(-0{,}69\) | \(0\) | \(0{,}69\) | \(1\) | \(1{,}1\) | \(1{,}39\) | \(1{,}61\) | \(1{,}79\) | \(1{,}95\) | \(2{,}08\) | \(2{,}2\) | \(2{,}3\) |
Courbe représentative :
Limites :
• \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)
• \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\) (très lentement : \(\ln(10^{10}) \approx 23\))
Asymptotes :
• Verticale : \(x = 0\) (axe des ordonnées)
• Horizontale : Aucune
Tangente : Equation de \(T_{1}\) :
\(T_{1} : y = \ln'(1)(x - 1) + \ln(1)\) avec \(\ln'(1) = \dfrac{1}{1} = 1\) et \(\ln(1) = 0\)
d'où \(T_{1} : y = x - 1\).
• \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)
• \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\) (très lentement : \(\ln(10^{10}) \approx 23\))
Asymptotes :
• Verticale : \(x = 0\) (axe des ordonnées)
• Horizontale : Aucune
Tangente : Equation de \(T_{1}\) :
\(T_{1} : y = \ln'(1)(x - 1) + \ln(1)\) avec \(\ln'(1) = \dfrac{1}{1} = 1\) et \(\ln(1) = 0\)
d'où \(T_{1} : y = x - 1\).
Tableau de variation :
Tableau de signe :
Extremums : Pas de maximum, pas de minimum.
2 – Fonctions de la forme \(f(x) = \ln(u(x))\)
On considère une fonction \(x \longmapsto u(x)\), définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\).
Propriété 2 : La fonction \(f(x) = \ln(u(x))\) est dérivable sur \(I\) et on a
\[f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\]
\[f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\]
Exemple 1 :
On considère la fonction \(f(x) = \ln(x^{2} + 1)\) définie sur \(\mathbb{R}\). Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\).
\(f = \ln(u)\) avec \(u(x) = x^{2} + 1\) et donc \(u'(x) = 2x\). Ainsi \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}\).
Propriété 3 : Soit \(a\) un réel ou \(\pm\infty\) tel que \(a \in I\).
• Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = 0\) alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} \ln(u(x)) = -\infty\).
• Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = +\infty\) alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} \ln(u(x)) = +\infty\).
• Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = 0\) alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} \ln(u(x)) = -\infty\).
• Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = +\infty\) alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} \ln(u(x)) = +\infty\).
Exemple 2 :
• \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} \ln(x^{2} - 4) = -\infty\) car \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} (x^{2} - 4) = 0^{+}\).
• \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x^{2} - 4) = +\infty\) car \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^{2} - 4) = +\infty\).
