1 – Relation fonctionnelle et conséquences
Propriété 1 (Relation fonctionnelle) : Pour tous nombres strictement positifs \(a\) et \(b\), on a :
\[\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)\]
Remarque : Historiquement, c'est par le biais de cette formule qu'a été introduite la notion de logarithme. La relation fonctionnelle permet de transformer un produit en somme ce qui était bien pratique à une époque où les calculatrices n'existaient pas encore. Elle a permis notamment de faciliter le calcul des « grandes multiplications » qui apparaissaient dans les calculs astronomiques par le biais de l'utilisation des tables logarithmiques.
Ex : \(36 \times 62 = 2232\) :
\(\log(36 \times 62) = \log(36) + \log(62)\)
\(= 1{,}5562 + 1{,}7924 = 3{,}3487 = \log(2232)\).
\(\log(36 \times 62) = \log(36) + \log(62)\)
\(= 1{,}5562 + 1{,}7924 = 3{,}3487 = \log(2232)\).
Exemple 1 :
A l'aide du tableau de valeurs et sans utiliser la calculatrice, calculer les valeurs suivantes :
• \(\ln(15) = \ln(3 \times 5) = \ln(3) + \ln(5)\)
\(\approx 1{,}1 + 1{,}61 = 2{,}72\)
• \(\ln(0{,}8) = \ln(8 \times 0{,}1)\)
\(= \ln(8) + \ln(0{,}1) \approx 2{,}08 - 2{,}3 = -0{,}22\)
Les propriétés suivantes sont des corollaires (ou conséquences) de la relation fonctionnelle :
Propriété 2 : Pour tous nombres strictement positifs \(a\) et \(b\), et pour tout entier naturel \(n\), on a :
(1) \(\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)\)
(2) \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\)
(3) \(\ln\left(a^{n}\right) = n\ln(a)\)
(4) \(\ln\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)\)
(1) \(\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)\)
(2) \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\)
(3) \(\ln\left(a^{n}\right) = n\ln(a)\)
(4) \(\ln\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)\)
Démonstration
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs et \(n\) un entier naturel.1. Pour tout \(a > 0\), on a \(\ln\left(a \times \dfrac{1}{a}\right) = \ln(1)\) d'où \(\ln(a) + \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = 0\). On obtient donc \(\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)\).
2. Pour tous \(a, b > 0\), on a
\(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln\left(a \times \dfrac{1}{b}\right)\)
\(= \ln(a) + \ln\left(\dfrac{1}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\) (d'après (1)).
3. \(\ln\left(a^{n}\right) = \ln(\underbrace{a \times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs}})\)
\(= \underbrace{\ln(a) + \ldots + \ln(a)}_{n \text{ termes}} = n \times \ln(a)\).
4. On a \(\ln\left(\sqrt{a}^2\right) = \ln(a)\) d'où \(2\ln\left(\sqrt{a}\right) = \ln(a)\) d'où \(\ln\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)\).
Exemple 2 :
A l'aide du tableau de valeurs et sans utiliser la calculatrice, calculer les valeurs suivantes :
• \(\ln(0{,}25) = \ln\left(\dfrac{1}{4}\right)\)
\(= -\ln(4) \approx -1{,}39\)
• \(\ln\left(\dfrac{2}{3}\right) = \ln(2) - \ln(3)\)
\(\approx 0{,}69 - 1{,}1 = -0{,}31\)
• \(\ln(1024) = \ln\left(2^{10}\right) = 10\ln(2) \approx 6{,}9\)
• \(\ln\left(\sqrt{5}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(5)\)
\(\approx \dfrac{1}{2} \times 1{,}61 \approx 0{,}8\)
• \(\ln(\text{e}^{2}) - \ln\dfrac{2}{\text{e}} = 2\ln(\text{e}) - \ln(2) + \ln(\text{e})\)
\(= 2 - \ln 2 + 1 = 3 - \ln 2 \approx 3 - 0{,}69 \approx 2{,}31\)
Exemple 3 :
Simplifier les expressions suivantes en les écrivant sous la forme \(\ln A\) avec \(A\) un nombre réel.
• \(A = \ln\left(3 - \sqrt{5}\right) + \ln\left(3 + \sqrt{5}\right)\)
\(= \ln\left((3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})\right) = \ln\left(3^2 - \sqrt{5}^2\right) = \ln(9 - 5) = \ln 4\)
• \(B = 3\ln 2 + \ln 5 - 2\ln 3 = \ln 2^{3} + \ln 5 - \ln 3^{2}\)
\(= \ln\left(\dfrac{2^{3} \times 5}{3^{2}}\right) = \ln\dfrac{40}{9}\)
2 – Equations/Inéquations avec le logarithme
Propriété 3 : Pour tous nombres strictement positifs \(x\) et \(y\), on a :
(1) \(\ln(x) \leq 0 \Longleftrightarrow 0 < x \leq 1\)
(2) \(\ln(x) \geq 0 \Longleftrightarrow x \geq 1\)
(3) \(\ln(x) = \ln(y) \Longleftrightarrow x = y\)
(4) \(\ln(x) \leq \ln(y) \Longleftrightarrow x \leq y\)
(1) \(\ln(x) \leq 0 \Longleftrightarrow 0 < x \leq 1\)
(2) \(\ln(x) \geq 0 \Longleftrightarrow x \geq 1\)
(3) \(\ln(x) = \ln(y) \Longleftrightarrow x = y\)
(4) \(\ln(x) \leq \ln(y) \Longleftrightarrow x \leq y\)
Remarque : Ces propriétés proviennent du fait que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont strictement croissantes sur leur ensemble de définition, ce qui signifie que l'on peut les appliquer sur une inégalité sans que celle-ci change de signe.
Exemple 4 :
Résoudre les équations/inéquations suivantes :
• \(\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) \leq 0\) sur \(I = ]0\;;\;+\infty[\) :
\(\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) \leq 0 \Longleftrightarrow 0 < \dfrac{1}{x} \leq 1\)
\(\Longleftrightarrow x \geq 1\). Donc \(S = [1\;;\;+\infty[\).
• \(\ln(2x + 5) \geq 0\) sur \(I = ]-2{,}5\;;\;+\infty[\) :
\(\ln(2x + 5) \geq 0 \Longleftrightarrow 2x + 5 \geq 1\)
\(\Longleftrightarrow 2x \geq -4 \Longleftrightarrow x \geq -2\). Donc \(S = [-2\;;\;+\infty[\).
• \(\ln(x) = 2\) sur \(I = ]0\;;\;+\infty[\) :
\(\ln(x) = \ln(\text{e}^2) \Longleftrightarrow x = \text{e}^2\). Donc \(S = \{\text{e}^{2}\}\).
• \(\ln x = \ln(3x + 1)\) sur \(I = ]0\;;\;+\infty[\) :
\(x = 3x + 1 \Longleftrightarrow x - 3x = 1\)
\(\Longleftrightarrow -2x = 1 \Longleftrightarrow x = -0{,}5\). Mais \(-0{,}5 \notin I\), donc \(S = \varnothing\).
• \(\text{e}^{x + 1} = 5\) sur \(I = \mathbb{R}\) :
\(\ln\left(\text{e}^{x + 1}\right) = \ln(5)\)
\(\Longleftrightarrow x + 1 = \ln 5 \Longleftrightarrow x = \ln 5 - 1\). Donc \(S = \{\ln 5 - 1\}\).
• \(\ln(6x + 1) \geq 3\) sur \(]-\dfrac{1}{6}\;;\;+\infty[\) :
\(\ln(6x + 1) \geq \ln(\text{e}^{3})\)
\(\Longleftrightarrow 6x + 1 \geq \text{e}^{3} \Longleftrightarrow 6x \geq \text{e}^{3} - 1\)
\(\Longleftrightarrow x \geq \dfrac{\text{e}^{3} - 1}{6}\). Donc \(S = \left[\dfrac{\text{e}^{3} - 1}{6}\;;\;+\infty\right[\).
Remarque : Le logarithme permet de résoudre des inéquations de la forme : \(q^{n} \geq a\) ; \(q^{n} \leq a\) où l'inconnue \(n\) est une puissance entière (avec \(q > 0\) et \(a > 0\)) : On utilise la formule \(\ln\left(a^{n}\right) = n\ln(a)\).
Exemple 5 :
Résoudre les équations/inéquations suivantes :
• \(2^{n} \geq 1\,000\,000\) \(\Leftrightarrow 2^{n} \geq 10^{6}\) \(\Leftrightarrow \ln(2^{n}) \geq \ln(10^{6})\)
\(\Leftrightarrow n\ln 2 \geq 6\ln 10 \Leftrightarrow n \geq \dfrac{6\ln 10}{\ln 2} \approx 19{,}9\).
Donc \(n \geq 20\). L'inégalité reste dans le même sens car \(\ln(2) > 0\).
• \(0{,}8^{n} < 0{,}25\) \(\Leftrightarrow \ln\left(0{,}8^{n}\right) < \ln(0{,}25)\)
\(\Leftrightarrow n\ln(0{,}8) < \ln(0{,}25) \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}8} \approx 6{,}2\).
Donc \(n \geq 7\). L'inégalité change de sens car \(\ln(0{,}8) < 0\).
Exemple 6 :
Le salaire de Jean augmente tous les ans de \(5\%\). Il commence avec un salaire de 1650 euros.
Dans combien d'années Jean gagnera plus de 2000 euros ?
• On note \(u_{n}\) son salaire au bout de \(n\) années. \((u_{n})\) est une suite géométrique de premier terme \(u_{0} = 1650\) et de raison \(q = 1{,}05\). On a donc \(u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 1650 \times 1{,}05^{n}\).
• On doit résoudre \(u_{n} \geq 2000 \Leftrightarrow 1650 \times 1{,}05^{n} \geq 2000\)
\(\Leftrightarrow 1{,}05^{n} \geq \dfrac{2000}{1650} = \dfrac{40}{33}\).
• On applique le logarithme :
\(\ln(1{,}05^{n}) \geq \ln\left(\dfrac{40}{33}\right)\)
\(\Leftrightarrow n\ln(1{,}05) \geq \ln 40 - \ln 33\)
\(\Leftrightarrow n \geq \dfrac{\ln 40 - \ln 33}{\ln 1{,}05} \approx 3{,}9\)
• Donc \(n = 4\) : Au bout de la quatrième année, Jean aura un salaire supérieur à 2000 euros.
