1 – La notion de Primitive
Définition 1 :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On dit qu'une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), si \(F\) est dérivable sur \(I\) et que la dérivée de \(F\) est égale à \(f\) : \(F' = f\)
Remarque : La recherche de primitive est donc « l'opération inverse » de la dérivation.
Exemple 1 :
- Si \(f(x) = 3x^2\) alors la fonction \(F(x) = x^{3}\) est une primitive de \(f\).
- La fonction \(F(x) = x\ln x - x\) est une primitive de la fonction logarithme népérien \(f(x) = \ln x\) :
En effet,
\(F'(x) = 1 \times \ln x + \dfrac{1}{x} \times x - 1\)
\(= \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x) = f(x)\).
Propriété 1 :
Si \(f\) admet une primitive \(F\) sur \(I\) alors l'ensemble des primitives de \(f\) sur \(I\) est constitué des fonctions de la forme \(x \rightarrow F(x) + C\) où \(C\) est une constante réelle.
Si \(f\) admet une primitive \(F\) sur \(I\) alors l'ensemble des primitives de \(f\) sur \(I\) est constitué des fonctions de la forme \(x \rightarrow F(x) + C\) où \(C\) est une constante réelle.
Remarque :
Toutes les fonctions de la forme \(x \rightarrow F(x) + C\) admettent la fonction \(f\) comme dérivée car la dérivée d'une constante est nulle. Réciproquement si une fonction est une primitive de la fonction \(f\) alors elle s'écrira forcément sous la forme \(F(x) + C\).
Exemple 2 :
- La fonction \(F(x) = x^{3} + 1\) est aussi une primitive de la fonction \(f(x) = 3x^2\)
- L'ensemble des primitives de la fonction logarithme népérien est constitué des fonctions sous la forme (voir figure ci-contre) :
\(F(x) = x\ln x - x + C\) avec \(C \in \mathbb{R}\)
Propriété 2 :
Soit \(f\) une fonction admettant des primitives \(F\) sur \(I\) alors pour tous nombres réels \(x_{0}\) et \(y_{0}\),
il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant la condition \(F(x_{0}) = y_{0}\).
Soit \(f\) une fonction admettant des primitives \(F\) sur \(I\) alors pour tous nombres réels \(x_{0}\) et \(y_{0}\),
il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant la condition \(F(x_{0}) = y_{0}\).
Exemple 3 :
- La fonction \(F(x) = x^{3}\) est l'unique primitive de \(f(x) = 3x^2\) qui s'annule en \(0\) (tel que \(F(0) = 0\))
- Cherchons la primitive de la fonction logarithme népérien qui s'annule en \(1\) (tel que \(F(1) = 0\))
Les primitives de la fonction \(f(x) = \ln x\) sont de la forme \(F(x) = x\ln x - x + C\) où \(C \in \mathbb{R}\).
Si \(F(1) = 0\) alors \(1 \times \ln 1 - 1 + C = 0\) d'où \(-1 + C = 0\) d'où \(C = 1\).
Ainsi l'unique primitive de \(f\) qui s'annule en \(1\) est la fonction \(F(x) = x\ln x - x + 1\).
Propriété 3 :
Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\) alors \(f\) admet des primitives sur \(I\).
Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\) alors \(f\) admet des primitives sur \(I\).
Remarque : Les fonctions usuelles admettent donc des primitives dont nous donnerons les formules dans le paragraphe suivant. La plupart s'obtiennent par lecture inverse du tableau des dérivées usuelles.
2 – Primitives des fonctions usuelles
| Fonction \(\mathbf{f}\) | Primitives \(\mathbf{F}\) de \(\mathbf{f}\) | Intervalle \(\mathbf{I}\) |
|---|---|---|
| \[f(x) = a\] | \[F(x) = ax + C\] | \[\mathbb{R}\] |
| \[f(x) = x\] | \(F(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + C\) | \[\mathbb{R}\] |
| \[f(x) = x^2\] | \(F(x) = \dfrac{1}{3}x^{3} + C\) | \[\mathbb{R}\] |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | \(F(x) = \ln x + C\) | \[\rbrack 0 ; +\infty\lbrack\] |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x^2}\) | \(F(x) = -\dfrac{1}{x} + C\) | \(\rbrack -\infty ; 0\lbrack\) ou \(\rbrack 0 ; +\infty\lbrack\) |
| \(f(x) = x^{n}\) où \(n\) entier, \(n \neq -1\) |
\[F(x) = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C\] | Si \(n > -1\) : \(\mathbb{R}\) Si \(n < -1\) : \(\rbrack -\infty ; 0\lbrack\) ou \(\rbrack 0 ; +\infty\lbrack\) |
| \[f(x) = \sqrt{x}\] | \(F(x) = \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C\) | \[\lbrack 0 ; +\infty\lbrack\] |
| \[f(x) = \text{e}^{x}\] | \[F(x) = \text{e}^{x} + C\] | \[\mathbb{R}\] |
| \[f(x) = \ln x\] | \[F(x) = x\ln x - x + C\] | \[\rbrack 0 ; +\infty\lbrack\] |
3 – Primitives et opérations
Propriété 3 :
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\), et \(k\) une constante réelle.
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\), et \(k\) une constante réelle.
- Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors \(kF\) est une primitive de \(kf\) sur \(I\).
- Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\) sur \(I\), alors \(F + G\) est une primitive de \(f + g\) sur \(I\).
Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\).
| Fonction \(\mathbf{f}\) | Primitives \(\mathbf{F}\) de \(\mathbf{f}\) sur \(\mathbf{I}\) | Conditions particulières |
|---|---|---|
| \(f = u'u^{n}\) où \(n\) entier, \(n \neq -1\) |
\[F = \dfrac{1}{n + 1}u^{n + 1} + C\] | \(u(x) \neq 0\) sur \(I\) lorsque \(n < -1\) |
| \[f = \dfrac{u'}{u}\] | \[F(x) = \ln(u) + C\] | \(u(x) > 0\) sur \(I\) |
| \[f(x) = u'\text{e}^{u}\] | \[F(x) = \text{e}^{u} + C\] | Aucune |
| \(f(x) = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \[F(x) = \sqrt{u}\] | \(u(x) > 0\) sur \(I\) |
Exemple 4 :
Déterminer l'ensemble des primitives de chacune des fonctions suivantes :
- \(f(x) = x^{2} + \text{e}^{x}\) :
\(F(x) = \dfrac{1}{3}x^{3} + \text{e}^{x} + C\) - \(f(x) = 2x^{2} - 4x\) :
\(F(x) = 2 \times \dfrac{1}{3}x^{3} - 4 \times \dfrac{1}{2}x^{2} + C\)
\(= \dfrac{2}{3}x^{3} - 2x^{2} + C\) - \(f(x) = 3 \times (3x + 5)^2\) : \(f = u'u^{n}\) avec \(u = 3x + 5\) ; \(u' = 3\) et \(n = 2\)
d'où \(F(x) = \dfrac{1}{3}(3x + 5)^{3} + C\) - \(f(x) = \dfrac{4x + 3}{2x^{2} + 3x + 5}\) : \(f = \dfrac{u'}{u}\) avec \(u = 2x^{2} + 3x + 5 > 0\) ; \(u' = 4x + 3\)
d'où \(F(x) = \ln(2x^{2} + 3x + 5) + C\) - \(f(x) = 2x\text{e}^{x^{2} - 1}\) : \(f = u'\text{e}^{u}\) avec \(u = x^{2} - 1\) ; \(u' = 2x\)
d'où \(F(x) = \text{e}^{x^{2} - 1} + C\) - \(f(x) = \dfrac{5}{2x + 6}\) : On pose \(u = 2x + 6\) donc \(u' = 2\).
\(f(x) = \dfrac{5 \times \frac{1}{2} \times 2}{2x + 6}\)
\(= \dfrac{5}{2} \times \dfrac{2}{2x + 6}\) donc \(f = 2{,}5 \times \dfrac{u'}{u}\)
On a donc \(F = 2{,}5\ln u\) d'où \(F(x) = 2{,}5\ln(2x + 6)\) - \(f(x) = \text{e}^{-2x}\) : \(f(x) = -\dfrac{1}{2} \times (-2) \times \text{e}^{-2x}\) donc \(f = -\dfrac{1}{2} \times u'\text{e}^{u}\) avec \(u = -2x\)
d'où \(F(x) = -\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + C\)
