1 – La notion d'équation différentielle
Définition 1 :
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue, notée généralement \(y\), est une fonction, et dans laquelle apparait sa dérivée \(y'\), éventuellement ses dérivées successives \(y''\), \(y'''\), etc, et potentiellement d'autres fonctions.
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue, notée généralement \(y\), est une fonction, et dans laquelle apparait sa dérivée \(y'\), éventuellement ses dérivées successives \(y''\), \(y'''\), etc, et potentiellement d'autres fonctions.
Vocabulaire :
- Une fonction qui vérifie une équation différentielle est une solution de l'équation différentielle.
- Résoudre une équation différentielle sur un intervalle \(I\) c'est trouver toutes les fonctions définies sur \(I\) qui sont solutions de l'équation différentielle.
- L'ordre d'une équation différentielle correspond à l'ordre de la dérivée la plus élevée dans l'équation.
Exemple 1 :
- L'équation \(y' = f\) est une équation différentielle dont l'ensemble des solutions est donnée par les primitives de la fonction \(f\).
- L'équation \(y' = y\) est une équation différentielle du premier ordre. La fonction exponentielle \(f(x) = \text{e}^{x}\) est une solution de cette équation. La fonction \(g(x) = \text{e}^{x + 1}\) est aussi une solution de cette équation.
- L'équation \(y'' = -y\) est une équation différentielle du second ordre (car il y a la dérivée seconde).
Les fonctions trigonométriques \(f(x) = \cos(x)\) et \(g(x) = \sin(x)\) sont des solutions de cette équation.
Remarque : La solution d'une équation différentielle n'est pas unique : Les équations précédentes en possèdent une infinité. Lorsque l'on résout une équation différentielle, on cherche en général des fonctions définies sur le plus grand intervalle possible.
Exemple 2 :
On considère l'équation différentielle \((E) : y' + 3y = 6\).Vérifier que la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 5\text{e}^{-3x} + 2\) est une solution de l'équation \((E)\).
On commence par dériver \(f\) : \(f'(x) = 5 \times (-3) \times \text{e}^{-3x} = -15\text{e}^{-3x}\)
On a \(f'(x) + 3f(x) = -15\text{e}^{-3x} + 3 \times (5\text{e}^{-3x} + 2)\)
\(= -15\text{e}^{-3x} + 15\text{e}^{-3x} + 6 = 6\)
Ainsi, on a bien \(f' + 3f = 6\) et donc \(f\) est une solution de l'équation \((E)\)
Exemple 3 :
On considère l'équation différentielle \((E') : y' - 4y = 3x + 1\).Rechercher une solution à cette équation sous la forme d'une fonction affine.
Soit \(f(x) = ax + b\). \(f'(x) - 4f(x) = a - 4(ax + b) = a - 4ax - 4b = -4ax + a - 4b\)
La fonction \(f\) est solution si \(-4ax + a - 4b = 3x - 1\).
Par identification,
\(\begin{cases} -4a = 3 \\ a - 4b = -1 \end{cases}\) soit \(\begin{cases} a = -\dfrac{3}{4} \\ -\dfrac{3}{4} - 4b = -1 \end{cases}\)
soit \(\begin{cases} a = -\dfrac{3}{4} \\ b = \dfrac{1}{16} \end{cases}\)
La fonction \(f(x) = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{16}\) est solution de l'équation \((E')\)
2 – Equation \(y' = ay\)
Propriété 1 :
On considère l'équation différentielle \(y' = ay\) où \(a\) est un nombre réel.
On considère l'équation différentielle \(y' = ay\) où \(a\) est un nombre réel.
- Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme \(x \mapsto C\text{e}^{ax}\) où \(C\) est une constante réelle.
- Il existe une unique solution à cette équation vérifiant la condition initiale \(y(x_{0}) = k\) (où \(x_{0}, k \in \mathbb{R}\)).
Remarques :
- Soit \(f(x) = C\text{e}^{ax}\). On a bien \(f'(x) = Ca\text{e}^{ax} = af(x)\).
- L'unique fonction \(f\) vérifiant la condition initiale \(y(x_{0}) = k\) est définie par \(f(x) = k\text{e}^{a(x - x_{0})}\).
Exemple 4 :
Résoudre l'équation différentielle \(y' = -4y\).L'équation est sous la forme \(y' = ay\) avec \(a = -4\).
Les solutions sont donc les fonctions sous la forme \(x \mapsto C\text{e}^{-4x}\) avec \(C\) une constante réelle.
Exemple 5 :
Résoudre l'équation différentielle \(2y' + 5y = 0\) avec la condition initiale \(y(0) = 1\).\(2y' + 5y = 0 \Leftrightarrow 2y' = -5y\)
\(\Leftrightarrow y' = -\dfrac{5}{2}y\).
L'équation est sous la forme \(y' = ay\) avec \(a = -\dfrac{5}{2} = -2{,}5\).
Les solutions sont donc les fonctions sous la forme \(x \mapsto C\text{e}^{-\frac{5}{2}x}\) avec \(C\) une constante réelle.
Or, \(y(0) = 1\) donc \(C\text{e}^{-\frac{5}{2} \times 0} = 1\) d'où \(C \times 1 = 1\) donc \(C = 1\).
L'unique solution vérifiant la condition initiale est la fonction \(f(x) = \text{e}^{-\frac{5}{2}x}\).
3 – Equation \(y' = ay + b\)
Propriété 1 :
On considère l'équation différentielle \(y' = ay + b\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
On considère l'équation différentielle \(y' = ay + b\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
- Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme \(x \mapsto C\text{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}\) où \(C\) est une constante réelle.
- Il existe une unique solution à cette équation vérifiant la condition initiale \(y(x_{0}) = k\) (où \(x_{0}, k \in \mathbb{R}\)).
Remarques : Les solutions de l'équation \(y' = ay + b\) s'obtiennent en additionnant les solutions \(x \mapsto C\text{e}^{ax}\) de l'équation dite homogène \(y' = ay\) avec une solution particulière, la fonction constante \(x \mapsto -\dfrac{b}{a}\).
Exemple 6 :
On considère l'équation différentielle \(3y' - 2y = 3\).1. Trouver une fonction constante solution de cette équation différentielle
Si \(f(x) = k\) alors \(f'(x) = 0\). \(f\) est solution de l'équation si
\(3 \times 0 - 2 \times k = 3 \Leftrightarrow -2k = 3 \Leftrightarrow k = -\dfrac{3}{2}\).
2. Déterminer les solutions générales de cette équation différentielle.
\(3y' - 2y = 3 \Leftrightarrow 3y' = 2y + 3\)
\(\Leftrightarrow y' = \dfrac{2}{3}y + 1\).
L'équation est sous la forme \(y' = ay + b\) avec \(a = \dfrac{2}{3}\) et \(b = 1\).
Les solutions sont donc les fonctions sous la forme \(x \mapsto C\text{e}^{\frac{2}{3}x} - \dfrac{3}{2}\) avec \(C\) une constante réelle.
3. Déterminer l'unique solution vérifiant la condition initiale \(y(1) = 2\)
\(y(1) = 2\) donc \(C\text{e}^{\frac{2}{3} \times 1} - \dfrac{3}{2} = 2\) d'où \(C\text{e}^{\frac{2}{3}} = \dfrac{7}{2}\) donc \(C = \dfrac{7}{2}\text{e}^{-\frac{2}{3}}\).
L'unique solution vérifiant \(y(1) = 2\) est la fonction
\(f(x) = \dfrac{7}{2}\text{e}^{-\frac{2}{3}} \times \text{e}^{\frac{2}{3}x} - \dfrac{3}{2}\)
\(= \dfrac{7}{2}\text{e}^{\frac{2}{3}(x - 1)} - \dfrac{3}{2}\)
