1 – Intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle
Définition 1 :
On considère une fonction \(f\) continue et positive sur un intervalle \(I = [a ; b]\).
On appelle intégrale de \(f\) de \(a\) à \(b\), et on note \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\), l'aire \(\mathcal{A}(D)\) du domaine \(D\) délimitée par :
On considère une fonction \(f\) continue et positive sur un intervalle \(I = [a ; b]\).
- L'axe des abscisses
- La courbe \(C_{f}\) représentative de la fonction \(f\)
- Les deux axes verticaux d'équation \(x = a\) et \(x = b\).
Exemple 1 :
On considère la fonction définie sur l'intervalle \(I = [-2 ; 2]\) par \(f(x) = \sqrt{4 - x^2}\). Sa courbe représentative est un demi-cercle centré en l'origine du repère et de rayon \(r = 2\). Calculer \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\).
\(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \mathcal{A}_{Demi-cercle} = \dfrac{1}{2} \times \pi \times r^{2}\)
\(= \dfrac{1}{2} \times \pi \times 2^{2} = 2\pi\) (u.a.)
\(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \mathcal{A}_{Demi-cercle} = \dfrac{1}{2} \times \pi \times r^{2}\)
\(= \dfrac{1}{2} \times \pi \times 2^{2} = 2\pi\) (u.a.)
2 – Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle
La définition d'une intégrale s'étend aux fonctions négatives : On donne un signe positif aux portions qui sont situées au dessus de l'axe des abscisses et un signe négatif aux portions qui sont situées en dessous.
Propriété :
- Si \(f\) est une fonction continue et négative sur l'intervalle \(I = [a ; b]\) alors :
L'intégrale \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) est définie comme l'opposée de l'aire du domaine \(D\) délimité par l'axe des abscisses, la courbe de \(f\) et les axes \(x = a\) et \(x = b\). \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\mathcal{A}(D)\] - Si \(f\) est continue de signe quelconque sur \(I = [a ; b]\) alors on découpe le domaine délimité par l'axe \(O_{x}\), la courbe de \(f\) et les axes \(x = a\) et \(x = b\) :
\(D^{+}\) est la partie du domaine situé au dessus de l'axe des abscisses.
\(D^{-}\) est la partie du domaine situé en dessous de l'axe des abscisses. \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \mathcal{A}(D^{+}) - \mathcal{A}(D^{-})\]
Exemple 2 :
Soit \(f\) définie sur \(I = [0 ; 10]\) par \(f(x) = -0{,}5x + 3\).
Déterminer graphiquement la valeur de \(\int_{0}^{10} f(x)\,dx\).
\(\mathcal{A}(D^{+}) = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{2} = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9\) et
\(\mathcal{A}(D^{-}) = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{2} = \dfrac{4 \times 2}{2} = 4\)
\(\int_{0}^{10} f(x)\,dx = \mathcal{A}(D^{+}) - \mathcal{A}(D^{-})\)
\(= 9 - 4 = 5\) (u.a.)
Déterminer graphiquement la valeur de \(\int_{0}^{10} f(x)\,dx\).
\(\mathcal{A}(D^{+}) = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{2} = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9\) et
\(\mathcal{A}(D^{-}) = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{2} = \dfrac{4 \times 2}{2} = 4\)
\(\int_{0}^{10} f(x)\,dx = \mathcal{A}(D^{+}) - \mathcal{A}(D^{-})\)
\(= 9 - 4 = 5\) (u.a.)
3 – Propriétés des intégrales
Propriété 1 (Relation de Chasles) :
Soit \(f\) une fonction continue sur \(I = [a ; b]\) et \(c\) un nombre de \(I\), alors : \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx\]
Soit \(f\) une fonction continue sur \(I = [a ; b]\) et \(c\) un nombre de \(I\), alors : \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx\]
Remarque : Sur les bornes de l'intégrale on a aussi les deux propriétés suivantes :
- \(\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\)
- \(\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)
Propriété 2 :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I = [a ; b]\).
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I = [a ; b]\).
- Si \(f(x) \geq 0\) sur \(I\) alors \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx \geq 0\)
- Si \(f(x) \leq 0\) sur \(I\) alors \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq 0\)
- Si \(f(x) \leq g(x)\) sur \(I\) alors \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx\)
4 – Approximation avec la méthode des rectangles
Pour approximer la valeur d'une intégrale \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) on peut utiliser la méthode suivante :
Méthode :
On peut voir l'intégrale \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) comme une sorte de « somme continue » des valeurs de la fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\).
- On divise l'intervalle \([a ; b]\) en \(n\) parties égales :
\(x_{i} = a + i \times \dfrac{b - a}{n}\) avec \(0 \leq i \leq n\) (\(x_{0} = a\) et \(x_{n} = b\)) - On construit ainsi \(n\) rectangles sous la courbe de \(f\) de largeur \(\dfrac{b - a}{n}\) et de hauteur \(f(x_{i})\) avec \(0 \leq i \leq n - 1\)
- La valeur de l'intégrale est approximée par la somme des aires de ces rectangles :
\(S_{n} = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{b - a}{n} \times f(x_{i})\)
\(= \dfrac{b - a}{n} \times [f(x_{0}) + \ldots + f(x_{n})]\) - Plus \(n\) est grand et plus l'approximation sera précise avec égalité lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) :
\(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \rightarrow +\infty} S_{n}\)
