1 – Théorème fondamental

Théorème 1 :
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I = [a ; b]\).
La fonction \(F\) définie par \(F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt\) est dérivable sur \(I\), et on a \(F'(x) = f(x)\).

Remarque :

En d'autres termes la fonction \(F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt\) est une primitive de la fonction \(f\) sur \(I\).
Dans l'intégrale \(\int_{a}^{x} f(t)\,dt\), la variable d'intégration doit être différente de \(x\).

Exemple 1 :

En utilisant le théorème précédent, on peut retrouver la primitive de la fonction \(f(x) = x\).

On prend \(a = 0\) pour simplifier les calculs.
Une primitive de la fonction \(f(x) = x\) est alors donnée par la formule : \[F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt = \mathcal{A}_{Partie\ hachurée} = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{2}\] D'où \(F(x) = \dfrac{x \times x}{2} = \dfrac{x^2}{2}\)

Triangle hachuré sous la droite y=x entre 0 et x

Théorème 2 :
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I = [a ; b]\) et \(F\) une primitive de la fonction \(f\).
Alors \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)

Remarque : Le résultat de \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) est indépendant du choix de la primitive car toutes les primitives de \(f\) diffèrent d'une constante :
\(F(b) + C - (F(a) + C) = F(b) - F(a) + C - C = F(b) - F(a)\).

Notation : On note alors
\(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\)

Exemple 2 :

Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{x}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = \dfrac{1}{2}\) et \(x = 4\).

\[\mathcal{A}_{Domaine} = \int_{0{,}5}^{4} f(x)\,dx\] \(F(x) = \ln x\) est une primitive de la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) \(\int_{0{,}5}^{4} \dfrac{1}{x}\,dx = [\ln x]_{0{,}5}^{4}\)
\(= \ln 4 - \ln \dfrac{1}{2} = \ln 4 + \ln 2\)
\(= 2\ln 2 + \ln 2 = 3\ln 2\)

Aire sous la courbe de 1/x entre 0,5 et 4

Exemple 3 :

Calculer \(\int_{0}^{\pi} \cos x\,dx\).

\(F(x) = \sin x\) est une primitive de la fonction \(f(x) = \cos x\) \(\int_{0}^{\pi} \cos x\,dx = [\sin x]_{0}^{\pi}\)
\(= \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0\)

Courbe de cos(x) entre 0 et pi avec aires positives et négatives

2 – Linéarité de l'intégrale

Propriété 1 :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I = [a ; b]\) et \(k\) une constante réelle.

\(\int_{a}^{b} (f(x) + g(x))\,dx\)
\(= \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b} g(x)\,dx\)
\(\int_{a}^{b} (k \times f(x))\,dx = k \times \int_{a}^{b} f(x)\,dx\)

Démonstration

Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\) alors :

\(F + G\) est une primitive de \(f + g\) car \((F + G)' = F' + G' = f + g\).
\(k \times F\) est une primitive de \(k \times f\) car \((k \times F)' = k \times F' = k \times f\)

On a donc :
\(\int_{a}^{b} (f(x) + g(x))\,dx = [(F + G)(x)]_{a}^{b}\)
\(= F(b) + G(b) - F(a) - G(a)\)
\(= F(b) - F(a) + G(b) - G(a)\)
\(= [F(x)]_{a}^{b} + [G(x)]_{a}^{b}\)
\(= \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b} g(x)\,dx\)

De même :
\(\int_{a}^{b} (k \times f(x))\,dx = [(k \times F)(x)]_{a}^{b}\)
\(= k \times F(b) - k \times F(a)\)
\(= k \times [F(b) - F(a)]\)
\(= k \times [F(x)]_{a}^{b}\)
\(= k \times \int_{a}^{b} f(x)\,dx\)

Remarque : Cette propriété permet de ramener le calcul de l'intégrale d'une fonction complexe, à une succession d'intégrations de fonctions plus simples :

Exemple 4 :

Calculer l'intégrale suivante : \(I = \int_{1}^{2} 6x + \dfrac{5}{x}\,dx\)

On décompose l'intégrale :
\(I = \int_{1}^{2} 6x + \dfrac{5}{x}\,dx\)
\(= \int_{1}^{2} 6x\,dx + \int_{1}^{2} \dfrac{5}{x}\,dx\)
\(= 3 \times \int_{1}^{2} 2x\,dx + 5 \times \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x}\,dx\)

On obtient en passant aux primitives :
\(I = 3 \times [x^2]_{1}^{2} + 5 \times [\ln(x)]_{1}^{2}\)

Finalement,
\(I = 3 \times (2^{2} - 1^{2}) + 5 \times (\ln(2) - \ln(1))\)
\(= 9 + 5\ln 2\)

Cours n°2 — Intégrales et Primitives

1 – Théorème fondamental

2 – Linéarité de l'intégrale