1 – Calcul de l'aire d'un domaine compris entre deux courbes
Propriété 1 :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I = [a ; b]\) telle que pour tout \(x\) de \(I\) on a \(f(x) \leq g(x)\).
L'aire du domaine délimitée par leur courbe respective \(C_{f}\) et \(C_{g}\) et par les axes d'équation \(x = a\) et \(x = b\) vaut
\(\int_{a}^{b} [g(x) - f(x)]\,dx\)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I = [a ; b]\) telle que pour tout \(x\) de \(I\) on a \(f(x) \leq g(x)\).
L'aire du domaine délimitée par leur courbe respective \(C_{f}\) et \(C_{g}\) et par les axes d'équation \(x = a\) et \(x = b\) vaut
\(\int_{a}^{b} [g(x) - f(x)]\,dx\)
Exemple 1 :
Calculer l'aire du domaine délimitée par les courbes des fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = -x^{2} + 2x + 4\), et les droites \(x = -1\) et \(x = 2\).
On a \(\mathcal{A} = \int_{-1}^{2} [g(x) - f(x)]\,dx\)
\(= \int_{-1}^{2} -2x^{2} + 2x + 4\,dx\)
Une primitive de \(g - f\) est donnée par la fonction \(F(x) = -\dfrac{2}{3}x^{3} + x^{2} + 4x\)
\(\mathcal{A} = \int_{-1}^{2} [g(x) - f(x)]\,dx\)
\(= \left[-\dfrac{2}{3}x^{3} + x^{2} + 4x\right]_{-1}^{2}\)
\(= F(2) - F(-1) = \dfrac{20}{3} - \left(-\dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{27}{3} = 9\) u.a.
On a \(\mathcal{A} = \int_{-1}^{2} [g(x) - f(x)]\,dx\)
\(= \int_{-1}^{2} -2x^{2} + 2x + 4\,dx\)
Une primitive de \(g - f\) est donnée par la fonction \(F(x) = -\dfrac{2}{3}x^{3} + x^{2} + 4x\)
\(\mathcal{A} = \int_{-1}^{2} [g(x) - f(x)]\,dx\)
\(= \left[-\dfrac{2}{3}x^{3} + x^{2} + 4x\right]_{-1}^{2}\)
\(= F(2) - F(-1) = \dfrac{20}{3} - \left(-\dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{27}{3} = 9\) u.a.
2 – Valeur moyenne d'une fonction
Définition 1 :
Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \(I = [a ; b]\).
On appelle valeur moyenne de \(f\) sur \(I\) le nombre réel : \(\mu = \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)
Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \(I = [a ; b]\).
On appelle valeur moyenne de \(f\) sur \(I\) le nombre réel : \(\mu = \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)
Remarque : Le réel \(\mu\) est le nombre tel que l'aire sous la courbe de \(f\) entre \(a\) et \(b\) soit égale à l'aire du rectangle dont les côtés ont pour mesures \(b - a\) et \(\mu\).
Exemple 2 :
Calculer la valeur moyenne de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{4}\) sur l'intervalle \(I = [1 ; 5]\).
On a \(\mu = \dfrac{1}{5 - 1}\int_{1}^{5} f(x)\,dx\)
\(= \dfrac{1}{4}\int_{1}^{5} \dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{4}\,dx\)
Une primitive de \(f\) est donnée par \(F(x) = \dfrac{1}{8}x^{2} + \dfrac{7}{4}x\)
\(F(5) - F(1) = \dfrac{25}{8} + \dfrac{35}{4} - \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{4}\)
\(= \dfrac{24}{8} + \dfrac{28}{4} = 3 + 7 = 10\)
Donc \(\mu = \dfrac{1}{4} \times 10 = 2{,}5\)
On a \(\mu = \dfrac{1}{5 - 1}\int_{1}^{5} f(x)\,dx\)
\(= \dfrac{1}{4}\int_{1}^{5} \dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{4}\,dx\)
Une primitive de \(f\) est donnée par \(F(x) = \dfrac{1}{8}x^{2} + \dfrac{7}{4}x\)
\(F(5) - F(1) = \dfrac{25}{8} + \dfrac{35}{4} - \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{4}\)
\(= \dfrac{24}{8} + \dfrac{28}{4} = 3 + 7 = 10\)
Donc \(\mu = \dfrac{1}{4} \times 10 = 2{,}5\)
![Valeur moyenne de f(x)=x/4+7/4 sur [1;5] avec mu=2,5](/static/zmaths/images/cours/tmc-a6-3-03.png)
